"Информатика. Базовый уровень", Босова Л.Л., Босова А.Ю.
Позиционная система счисления позволяет записывать числа с помощью цифр, значение которых зависит от места в записи. Основание системы задаёт набор допустимых цифр и веса разрядов: у целой части это степени основания, а у дробной — отрицательные степени. Если умножить каждую цифру на вес её разряда и сложить результаты, получится значение числа. Этот способ помогает понимать записи в разных системах и переводить их в десятичную.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её местом в записи числа. Например, в десятичном числе 22 первая справа двойка означает две единицы, а вторая — два десятка. Это правило позволяет одной и той же цифре участвовать в записи чисел разной величины.
Основание системы счисления — количество цифр, используемых для записи чисел; допустимые значения цифр идут от 0 до основания минус один. Так, у системы с основанием 5 есть цифры 0, 1, 2, 3 и 4. Знание основания помогает понять, какие записи допустимы и каков вес каждого разряда.
Разряд числа — позиция цифры в записи, связанная с определённой степенью основания системы. Например, у числа 352 в десятичной системе цифра 3 стоит в разряде сотен. Номер разряда показывает, на какую степень основания нужно умножить цифру.
Вес разряда — значение, равное основанию системы в степени, соответствующей номеру позиции. В десятичной записи вес разряда десятков равен 10¹, а единиц — 10⁰. Вес нужен, чтобы определить вклад каждой цифры и восстановить значение всего числа.
В позиционной записи цифра сама по себе не задаёт количество единиц числа: её значение зависит от разряда. Например, цифра 3 в разряде единиц обозначает три единицы, а в разряде десятков — три десятка. Причина в том, что каждый разряд соответствует своей степени основания, поэтому цифра умножается на разный вес.
Число с основанием q можно представить как сумму произведений цифр на веса разрядов. Если цифра aᵢ стоит в разряде с номером i, её вклад равен aᵢ · qⁱ, а значение всего числа — сумма таких вкладов. Это разложение показывает, откуда берётся запись числа и позволяет вычислить его значение в десятичной системе.
Разряды целой части нумеруют справа налево, начиная с нуля. Самый правый разряд имеет вес q⁰ = 1, следующий — q¹, затем q² и так далее. При переходе на одну позицию влево вес увеличивается в q раз, потому что каждая следующая позиция объединяет q единиц предыдущего разряда.
Дробную часть нумеруют от запятой вправо: первый разряд получает номер −1, второй — −2. Поэтому их веса равны q⁻¹, q⁻² и далее, то есть представляют собой доли единицы. Например, q⁻¹ = 1/q: цифра в первом разряде после запятой показывает, сколько таких долей содержится в числе.
Чтобы получить десятичное значение числа, нужно умножить каждую цифру на вес её позиции и сложить все произведения. Для целой части используют нулевую и положительные степени основания, для дробной — отрицательные. Основание указывают индексом рядом с числом, поэтому запись (101)₂ читается как число 101 в двоичной системе, а не как десятичное сто один.
| Часть числа | Номер разряда | Вес разряда | Вклад цифры aᵢ |
|---|---|---|---|
| Целая часть | i = 0, 1, 2, …; отсчёт справа налево | qⁱ | aᵢ · qⁱ |
| Дробная часть | i = −1, −2, −3, …; отсчёт от запятой вправо | qⁱ | aᵢ · qⁱ |
| Число целиком | Разряды по обе стороны запятой | Степени q | Сумма вкладов всех цифр |
Сначала определи, к какой части числа относится цифра, а затем найди номер её разряда. Умножь цифру на указанный вес и сложи вклады всех позиций. Для дробных разрядов сохраняй отрицательные показатели степени.
Задача 1. Представить число (1011)₂ в виде суммы разрядных слагаемых и определить его значение в десятичной системе. Здесь основание равно 2, поэтому допустимы только цифры 0 и 1. Нумеруем позиции справа налево: у цифр стоят веса 2⁰, 2¹, 2² и 2³.
Ответ: (1011)₂ = 11₁₀. Нулевой разряд даёт единицы, а старшая единица — восемь, поскольку стоит в позиции с весом 2³.
Задача 2. Определить десятичное значение числа (324)₅. В системе с основанием 5 цифры 3, 2 и 4 допустимы, так как все они меньше пяти. У числа три целых разряда, поэтому справа налево их веса равны 5⁰, 5¹ и 5².
Ответ: (324)₅ = 89₁₀. Наибольший вклад даёт цифра 3, потому что она стоит в разряде с весом 25.
Задача 3. Определить десятичное значение числа (12,3)₄. Целую часть рассматриваем справа налево, а дробную — от запятой вправо. Поэтому цифра 3 после запятой имеет номер −1 и вес 4⁻¹.
Ответ: (12,3)₄ = 6,75₁₀. Отрицательная степень основания понадобилась только для цифры, стоящей после запятой.
Не учитывать позицию цифры. Ошибка возникает, если считать, что цифра сохраняет одно и то же значение в любом месте числа. Но в позиционной записи она умножается на вес своего разряда. Для проверки запиши произведение цифры на степень основания, соответствующую её позиции.
Использовать недопустимую цифру. Например, цифра 2 не подходит для системы с основанием 2, поскольку разрешены только 0 и 1. Обычно ошибку допускают, перенося привычный набор десятичных цифр в другую систему. Проверь, что значение каждой цифры меньше основания.
Начинать нумерацию целых разрядов с единицы. Так легко сдвинуть все веса и получить неверную сумму. Крайний справа разряд имеет номер 0 и вес q⁰ = 1, поэтому он обозначает единицы. Перед вычислениями подпиши номера разрядов справа налево.
Применять положительные степени для дробной части. Тогда цифры после запятой ошибочно получают слишком большой вклад. Причина ошибки — привычка считать все разряды по направлению увеличения степеней. Проверяй, что первый дробный разряд имеет вес q⁻¹, второй — q⁻², и так далее.
Для вычислений по разрядам нужны знания о степенях числа, а также умение умножать и складывать. Разложение числа на разрядные слагаемые становится основой перевода записей между системами счисления: сначала можно найти значение числа, а затем представить его в другой системе. Те же идеи используются в двоичном представлении данных и при выполнении арифметических операций компьютером.
Почему одна и та же цифра может иметь разное значение в одном числе?
Потому что значение цифры умножается на вес её разряда. Например, в числе (11)₂ первая справа единица означает 1, а соседняя слева — 2.
Как определить, какие цифры разрешены в системе счисления?
Нужно знать основание q: разрешены цифры со значениями от 0 до q − 1. Например, в системе с основанием 5 можно использовать 0, 1, 2, 3 и 4.
Почему разряды целой части нумеруют с нуля?
Крайний справа разряд содержит единицы, а его вес равен q⁰ = 1. Следующий разряд слева содержит группы по q единиц, поэтому его вес q¹.
Как найти вес цифры, стоящей после запятой?
Разряды дробной части отсчитывают от запятой вправо, начиная с номера −1. Вес цифры в i-м разряде равен qⁱ: например, в первом дробном разряде это q⁻¹.
Как получить десятичное значение числа, записанного в другой системе?
Умножь каждую цифру на вес её разряда, то есть на соответствующую степень основания, и сложи полученные значения. Для цифр после запятой используй отрицательные степени.
§ 10. Представление чисел в позиционных системах счисления
