"Информатика. Базовый уровень", Босова Л.Л., Босова А.Ю.
Арифметические операции в позиционной системе выполняют по разрядам, но правила переноса и займа определяет основание системы. Поэтому двоичное сложение отличается от десятичного не способом записи столбиком, а моментом, когда нужно перейти к следующему разряду. Понимание этих правил помогает считать в двоичной, восьмеричной и других системах, проверять результаты переводом в десятичную запись и лучше понимать, как компьютер работает с числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основание системы счисления — число, показывающее, сколько единиц разряда нужно для образования одной единицы следующего разряда. Например, в системе с основанием 4 четыре единицы одного разряда образуют одну единицу следующего. Зная основание, можно определить, какие цифры допустимы и когда требуется перенос.
Перенос разряда — замена q единиц одного разряда одной единицей следующего разряда при сложении, где q — основание системы. Например, в двоичной системе две единицы превращаются в одну единицу соседнего старшего разряда. Перенос сохраняет значение числа, но меняет его запись.
Заём разряда — замена одной единицы старшего разряда на q единиц соседнего младшего разряда при вычитании. В системе с основанием 5 занятая единица даёт пять единиц младшего разряда. Это позволяет вычесть большую цифру из меньшей, не меняя общего значения уменьшаемого.
Арифметические операции в позиционной системе — сложение, вычитание, умножение и деление поразрядными правилами с учётом основания системы. Запись столбиком помогает сопоставлять цифры одинаковых разрядов и учитывать переносы или займы. Такие правила применимы не только к десятичным числам.
Значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её позицией. В системе с основанием q разряды соответствуют степеням этого основания: справа налево идут q⁰, q¹, q² и далее. Поэтому запись числа раскладывается на сумму цифр, умноженных на значения их разрядов. Именно разрядная запись позволяет выполнять операции столбиком, не переводя каждое число в десятичную систему.
При сложении начинают с крайнего правого разряда, потому что перенос из него может изменить следующий разряд слева. Складывают цифры и перенос, если он пришёл из предыдущего разряда. Когда сумма достигает q, в текущем разряде оставляют её остаток при делении на q, а единицу переносят влево. Например, в системе с основанием 4 сумма 3 + 2 даёт 11₄: в разряде записывают 1, ещё 1 переносится.
При вычитании цифры младшего разряда может не хватить, чтобы вычесть нужную цифру. Тогда одну единицу занимают у ближайшего старшего разряда: она равна q единицам младшего. Если соседний разряд содержит ноль, заём приходится передавать дальше, пока не встретится ненулевой разряд. Так запись меняется, но значение уменьшаемого остаётся тем же.
Умножение столбиком сохраняет привычный порядок действий: сначала умножают число на каждую цифру множителя, затем складывают частичные произведения. В каждом разряде результат разбивают на цифру и перенос по основанию q, а не по десятичному основанию. Положение цифры множителя тоже имеет значение: цифра в разряде q¹ означает умножение на q, поэтому соответствующее частичное произведение сдвигают на один разряд влево.
При делении столбиком частное находят поэтапно: выбирают цифру, которая помещается в текущую часть делимого, и продолжают со следующим разрядом. Цифры частного должны быть допустимыми для данной системы, а остаток на каждом шаге — меньше делителя. Проверка основана на равенстве «делимое = делитель × частное + остаток». Поэтому умножение и сложение помогают обнаружить ошибку в делении.
| Операция | Действие по разрядам | Что учитывать |
|---|---|---|
| Сложение | Складывать цифры одноимённых разрядов | Переносить единицу, когда сумма достигает основания q |
| Вычитание | Вычитать цифры одноимённых разрядов | При нехватке выполнить заём, равный q единицам младшего разряда |
| Умножение | Находить частичные произведения и складывать их | Учитывать переносы и сдвиг по позиции цифры множителя |
| Деление | Последовательно определять цифры частного | Проверять допустимость цифр и величину остатка |
Используйте таблицу как памятку перед вычислением: сначала определите основание, затем выберите нужную строку. При сложении и вычитании следите за переносом или займом, а при умножении — ещё и за разрядом цифры множителя. После вычисления полезно проверить результат обратной операцией или переводом в другую систему.
Складываем справа налево и записываем числа друг под другом, выравнивая последние цифры. Основание равно 2, поэтому две единицы дают ноль в текущем разряде и перенос единицы влево. Каждый перенос нужно прибавлять к следующей паре цифр, а не терять.
Ответ: 1011₂ + 110₂ = 10001₂. Числа равны 11 и 6 в десятичной записи, а их сумма 17, что соответствует 10001₂.
Вычитаем справа налево; в младших разрядах уменьшаемого стоят нули, поэтому для вычитания нужен заём. В двоичной системе каждая занятая единица превращается в две единицы младшего разряда. Заём проходит через нули, пока не дойдёт до старшей единицы.
Ответ: 10000₂ − 1011₂ = 101₂. Проверка: 10000₂ равно 16, 1011₂ равно 11, разность равна 5, то есть 101₂.
Умножаем сначала на цифру единиц 3, затем на цифру 2 в разряде четвёрок. При каждом умножении цифр записываем результат по основанию 4: например, 2 × 3 = 12₄, значит, пишем 2 и переносим 1. Второе частичное произведение сдвигаем на разряд влево.
Ответ: 132₄ × 23₄ = 11202₄. Совпадение значений в десятичной записи подтверждает результат.
Перенос иногда выполняют только при достижении 10, как в десятичной системе. Причина — привычка забывать, что порог задаёт основание, например 2 или 4. Проверьте себя: перед вычислением подпишите основание и решите, сколько единиц разряда образуют следующую единицу.
В разряде могут записать сумму, которая больше наибольшей допустимой цифры. Так происходит, если забыть разделить сумму на основание и выделить перенос. Проверка проста: в системе с основанием q каждая записанная цифра должна быть меньше q, а лишняя часть суммы должна перейти в следующий разряд.
При займе считают, будто старшая единица превращается в 10 единиц младшего разряда. Это верно только для десятичной системы, поэтому в других системах такая замена меняет значение числа. Чтобы проверить себя, замените 10 на основание q и убедитесь, что одна единица старшего разряда действительно равна q единицам младшего.
При умножении можно забыть сдвиг частичного произведения или ошибиться в переносе. Тогда цифры оказываются не в тех разрядах, и результат получает другое значение. Проверьте, на какую степень основания умножает каждая цифра множителя, и сравните итог с произведением десятичных значений.
Для вычислений нужны знания о позиционной записи числа, основании и допустимых цифрах системы счисления: без них нельзя определить разрядную стоимость цифр и выполнить перенос. Арифметические правила помогают переводить числа между системами и проверять вычисления. Они также пригодятся при изучении представления целых чисел и выполнения операций компьютером, где широко применяется двоичная запись.
Почему при сложении в двоичной системе перенос возникает уже при сумме 2?
Основание двоичной системы равно 2, поэтому две единицы одного разряда заменяются одной единицей следующего разряда. Например, 1₂ + 1₂ = 10₂.
Как понять, сколько единиц младшего разряда даёт заём?
Количество равно основанию системы. Если основание q, то заём одной единицы старшего разряда добавляет q единиц в соседний младший разряд.
Можно ли умножать числа в любой системе счисления столбиком?
Да, если использовать допустимые цифры этой системы и её основание при переносах. Принцип умножения столбиком остаётся тем же, что и в десятичной системе.
Зачем сдвигать частичные произведения при умножении?
Каждая цифра множителя означает число единиц своего разряда. Поэтому произведение на цифру, стоящую в разряде q, записывают со сдвигом на один разряд влево.
Как проверить результат арифметической операции в другой системе счисления?
Можно перевести оба числа и результат в десятичную систему и проверить равенство их значений. Также помогают обратные операции: например, сложение можно проверить вычитанием.
§ 12. Арифметические операции в позиционных системах счисления
