"Информатика (базовый уровень)", Гейн А.Г., Гейн А.А.
Дробные числа в разных системах счисления записываются с помощью разрядов, связанных с отрицательными степенями основания. Чтобы перевести такую запись в десятичную систему, складывают значения разрядов. Обратный перевод выполняют последовательным умножением дробной части на основание новой системы. Целые части произведений образуют цифры ответа, а повторение дробного остатка показывает появление периода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дробная часть числа в позиционной системе счисления — цифры справа от разделителя, обозначающие доли единицы. В системе с основанием q их разряды имеют веса q⁻¹, q⁻², q⁻³ и так далее. Это позволяет определить точное значение каждой цифры.
Основание системы счисления — число q, показывающее, сколько единиц младшего разряда образуют одну единицу следующего. Например, в двоичной системе q = 2, а в троичной q = 3. Основание определяет допустимые цифры и величины всех разрядов.
Позиционная запись дробного числа — запись, в которой значение цифры зависит от её места. После разделителя цифры умножаются на отрицательные степени основания: q⁻¹, q⁻² и далее. Такое разложение используют при переводе дроби в десятичную систему.
Периодическая дробь — запись, в которой после разделителя бесконечно повторяется одна и та же последовательность цифр. Период возникает, когда при переводе снова появляется уже встречавшийся дробный остаток. Знание этого признака помогает не выполнять бесконечные одинаковые шаги.
В целой части каждый следующий разряд в q раз больше предыдущего, поэтому используются степени q⁰, q¹, q². Справа от разделителя разряды, наоборот, в q раз меньше единицы: первый равен 1/q, следующий — 1/q². Поэтому запись 0,a₁a₂…₍q₎ раскрывается как a₁q⁻¹ + a₂q⁻² + …, и сложение этих слагаемых даёт десятичное значение дроби.
Обратный перевод строится на другом свойстве позиционной записи. При умножении дроби на q цифра первого дробного разряда переходит в целую часть произведения, а оставшаяся дробь содержит информацию о следующих разрядах. Поэтому после каждого умножения сохраняют целую часть как цифру и продолжают работу с дробной частью.
Новая цифра появляется именно из целой части, потому что после умножения на основание первая доля единицы превращается в целую единицу. Дробная часть ещё не превратилась в очередной разряд, а содержит остаток для следующего шага. Если снова умножить этот остаток на q, аналогично выделится следующая цифра.
Для перевода между двумя недесятичными системами удобно использовать десятичную как промежуточную. Сначала разложение по отрицательным степеням даёт десятичное значение, затем последовательные умножения формируют запись в новом основании. При умножении дробь может закончиться нулём, а может сохранять ненулевой остаток: если остатки повторяются, цифры начинают образовывать период.
Выбор способа зависит от направления перевода. В таблице сначала определяется разложение или последовательное умножение, а затем правило формирования записи.
При недесятичном переводе через десятичную систему выполняют два самостоятельных этапа. Конечность или периодичность определяют по поведению дробного остатка.
| Направление перевода | Основной приём | Как записать результат |
|---|---|---|
| Из системы с основанием q в десятичную | Разложить дробную часть по степеням q⁻¹, q⁻² и далее | Сложить полученные значения разрядов |
| Из десятичной системы в систему с основанием q | Последовательно умножать дробь на q | Записать целые части произведений слева направо |
| Из одной недесятичной системы в другую | Сначала перевести в десятичную, затем — в новое основание | Выполнить два последовательных перевода |
| Получение конечной или периодической дроби | Следить за дробными остатками | Остановиться при нуле или выделить повторяющийся период |
Переведём число 0,101₂ в десятичную систему. После двоичного разделителя стоят разряды с весами 2⁻¹, 2⁻² и 2⁻³. Нужно умножить каждую цифру на вес своего разряда и сложить результаты.
Ответ: 0,101₂ = 0,5₁₀.
Переведём 0,375₁₀ в двоичную систему. Умножаем исходную дробь на 2 и каждый раз отделяем целую часть. После этого для следующего шага используем только дробную часть результата.
Ответ: 0,375₁₀ = 0,011₂. Нулевой остаток показывает, что запись конечная.
Рассмотрим перевод 0,2₁₀ в троичную систему. На каждом шаге умножаем текущий дробный остаток на 3 и выписываем целую часть. Когда остаток снова станет 0,2, дальнейшие действия повторятся.
Ответ: 0,2₁₀ = 0,(0121)₃. Остаток 0,2 повторился, поэтому последовательность 0121 является периодом.
При переводе в десятичную систему иногда используют положительные степени основания. Это происходит из-за привычки к разрядам целой части, но дробные разряды должны иметь веса q⁻¹, q⁻² и далее. Проверяйте первый разряд: его вес всегда меньше единицы.
При последовательном умножении некоторые записывают дробные части произведений вместо целых. Такой результат не содержит цифр нового числа, поскольку цифрой служит именно целая часть. После каждого шага отдельно отмечайте целую часть и остаток.
Ещё одна ошибка — снова умножать исходную дробь, а не остаток предыдущего произведения. Тогда одна и та же цифра повторяется и порядок разрядов нарушается. В таблице вычислений записывайте остаток каждой строки и переносите именно его.
Округление после нескольких шагов иногда принимают за точный ответ. Бесконечная запись может быть периодической, поэтому обрыв с многоточием означает приближение. Для точного результата укажите период или остановитесь только после получения нулевого остатка.
До изучения темы нужны позиционная запись числа, понятие основания системы счисления и разложение числа по степеням основания. Также пригодится умножение десятичных дробей, поскольку именно оно используется при последовательном переводе.
Эти приёмы применяются при переводе данных между системами счисления и при представлении чисел в компьютере. Понимание конечных и периодических дробей помогает оценивать точность вычислений и отличать точное значение от округлённого.
Почему у цифр после запятой степени основания отрицательные?
Справа от разделителя находятся доли единицы: 1/q, 1/q², 1/q³ и так далее. Поэтому цифра в первом дробном разряде умножается на q⁻¹, во втором — на q⁻².
В каком порядке записывать целые части при последовательном умножении?
Целые части записывают слева направо в том порядке, в котором получены произведения. Первая целая часть становится первой цифрой после разделителя.
Как понять, что перевод дроби в новую систему можно остановить?
Если дробная часть очередного результата стала равна нулю, запись закончена и дробь получилась конечной. Если остаток повторился, дальше будут повторяться те же цифры, поэтому можно указать период.
Почему десятичная дробь может получить бесконечную запись в другой системе?
Дробь может не представляться конечной суммой долей, соответствующих степеням нового основания. При этом последовательность дробных остатков рано или поздно повторяется, и запись становится периодической.
Можно ли перевести дробное число между двумя недесятичными системами напрямую?
Универсальный способ — сначала перевести число в десятичную систему, а затем из десятичной в нужную. Прямые приёмы существуют для отдельных пар оснований, но они требуют специальных закономерностей.
§ 12. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
