§ 24. Вероятностные модели

Определения и обозначения

Случайный эксперимент — действие с заранее известными возможными исходами, результат которого нельзя точно предсказать. Например, бросок монеты можно повторить в одинаковых условиях, но заранее неизвестно, какая сторона окажется сверху. Это понятие задаёт ситуацию, которую предстоит описать с помощью вероятностей.

Элементарный исход — один конкретный результат случайного эксперимента. При броске кости это выпадение одного из чисел от 1 до 6, а при двух бросках — конкретная пара результатов. Выделение элементарных исходов помогает составить полный список вариантов и не потерять ни один из них.

Событие — множество элементарных исходов, объединённых общим условием. Например, событие «выпало чётное число» на кости включает исходы 2, 4 и 6. Событие может состоять из одного исхода или сразу из нескольких, поэтому его нельзя всегда отождествлять с результатом эксперимента.

Вероятностная модель — математическое описание случайного эксперимента, его исходов и вероятностей. Она показывает, какие результаты возможны и насколько каждый из них или выбранное событие вероятны. Такая модель позволяет считать, сравнивать и компьютерно имитировать случайные процессы.

Как это устроено

Для реального случайного процесса сначала выделяют все возможные элементарные исходы. Затем исходы объединяют в события по условию задачи: например, результаты 2, 4 и 6 образуют событие «выпало чётное число». Такой переход от отдельных вариантов к группам позволяет задавать вопросы не о каждом результате отдельно, а о нужном свойстве эксперимента.

Одного списка исходов недостаточно, потому что он не показывает, насколько часто они могут появляться. Честная монета и монета с утяжелённой стороной имеют одинаковые возможные исходы, но разные вероятности. Поэтому модель должна содержать либо вероятность каждого элементарного исхода, либо правило, по которому вероятность любого события можно вычислить.

Если элементарные исходы равновероятны, вероятность события находят отношением числа благоприятных исходов к числу всех исходов: P(A) = m/n. Числитель m показывает, сколько вариантов удовлетворяет условию, а знаменатель n — сколько вариантов вообще возможно. Например, у кости шесть исходов, и событие «чётное число» содержит три, поэтому его вероятность равна 3/6 = 1/2.

Несовместимые исходы не могут произойти одновременно в одном испытании. Если они образуют полную группу, то один из них обязательно произойдёт, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Для честной кости это записывается так: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

На компьютере эксперимент можно заменить генерацией случайных чисел, которые имитируют его исходы. Программу запускают много раз, считают число наступлений события и делят его на общее число испытаний: это относительная частота. Она обычно приближается к теоретической вероятности при увеличении числа повторений, хотя при каждом конечном запуске возможны отклонения.

Состав и свойства вероятностной модели

Таблицу удобно читать слева направо: сначала определить модель и полный набор исходов, затем выбрать событие и способ его оценки. Последний столбец показывает, какие действия должна выполнять программа. Если исходы неравновероятны, значение вероятности нельзя получать простым подсчётом вариантов без дополнительных сведений.

Разбор задач

Задача 1. Чётное число на игральной кости

Игральную кость бросают один раз. Нужно найти вероятность выпадения чётного числа. Все шесть граней считаются равновероятными.

1. Запишем элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Выделим благоприятные исходы: 2, 4, 6. Их три.
3. Применим формулу P(A) = m/n: P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: вероятность равна 1/2, или 0,5.

Задача 2. Два броска монеты

Монету бросают два раза. Требуется найти вероятность того, что хотя бы один раз выпадет орёл. Считаем монету честной, поэтому четыре пары исходов равновероятны.

1. Запишем пары: ОО, ОР, РО, РР.
2. Подходят ОО, ОР и РО — всего три исхода. Значит, P(A) = 3/4.
3. Проверим другим способом: противоположное событие — два раза выпала решка, его вероятность 1/4. Тогда P(A) = 1 − 1/4 = 3/4.

Ответ: вероятность равна 3/4.

Задача 3. Имитация суммы 7

Нужно оценить вероятность получения суммы 7 при двух бросках кости с помощью генератора случайных чисел. Теоретически всего существует 36 упорядоченных пар результатов, а сумму 7 дают шесть пар: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).

1. В цикле дважды генерируем числа от 1 до 6 и складываем их.
2. Если сумма равна 7, увеличиваем счётчик благоприятных испытаний.
3. После N повторений вычисляем частоту f = число успехов/N и сравниваем её с теоретическим значением 6/36 = 1/6.

Ответ: при большом N полученная частота должна быть близка к 1/6, но точное совпадение не гарантируется.

Типичные ошибки

Считать вероятностью число исходов. Например, три благоприятных исхода — это ещё не вероятность 3, а только числитель. Нужно разделить их число на общее число равновероятных исходов и проверить, что результат находится от 0 до 1.

Не перечислять составные исходы многошагового эксперимента. При двух бросках легко забыть вариант или записать его дважды. Помогает таблица или систематический перебор: сначала фиксируют результат первого шага, затем перебирают все результаты второго.

Путать событие с одним исходом. Событие «выпало число меньше 4» включает 1, 2 и 3, а не один результат. Проверьте себя вопросом: может ли условию соответствовать несколько вариантов?

Ожидать точного совпадения частоты с вероятностью. Небольшая серия испытаний даёт заметные случайные колебания. Нужно увеличить число запусков и сравнивать приближение, а не требовать равенства после каждого эксперимента.

Связь с другими темами

Для вероятностных моделей нужны дроби и отношения, потому что вероятность часто выражают как долю благоприятных исходов. Перебор вариантов опирается на работу с множествами и систематический список элементов.

Компьютерная реализация связана с алгоритмами, циклами, условными операторами и генерацией случайных чисел. Такие модели применяют в статистическом моделировании, прогнозировании, оценке рисков и компьютерных экспериментах, когда реальный процесс трудно или дорого повторять.

Что запомнить

• Вероятностная модель описывает возможные случайные исходы и их вероятности.
• Элементарный исход — один конкретный результат эксперимента.
• Событие состоит из одного или нескольких элементарных исходов.
• Для равновероятных исходов вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
• Сумма вероятностей всех элементарных исходов равна единице.
• Относительная частота события при большом числе испытаний приближается к его вероятности.
• Компьютерная имитация позволяет исследовать вероятностную модель с помощью случайных чисел.