§ 32. Как построить логическую формулу

Определения и обозначения

Логическая переменная — величина, принимающая одно из двух значений: истина или ложь. Её обозначают буквой, например A или B, поэтому вместо длинного условия можно работать с короткой записью. Переменная не является числом: она показывает только истинность конкретного высказывания.

Логическое высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложение «7 больше 3» является высказыванием, а вопрос «Который час?» — нет. Выделение высказываний нужно, чтобы превратить обычный текст задачи в набор логических переменных.

Логическая операция — способ соединения или изменения высказываний с помощью связок НЕ, И, ИЛИ, ЕСЛИ…ТО. Операции записывают специальными знаками: ¬A, A ∧ B, A ∨ B и A → B. Благодаря им можно точно передать, какие условия должны выполняться вместе, какие допускают выбор, а какие зависят друг от друга.

Логическая формула — запись логического выражения с использованием переменных, операций и скобок. Например, A ∧ ¬B означает: A истинно, а B — ложно. Формула нужна для дальнейшей проверки условия, построения таблицы истинности или записи условия в программе.

Как это устроено

Сначала из условия выделяют простые высказывания — части, которые можно проверить независимо. Это делают потому, что логические операции работают с отдельными значениями истины и лжи, а не с неразобранным предложением. Например, в условии «число положительное и чётное» получаются два высказывания: «число положительное» и «число чётное».

Каждое найденное высказывание обозначают своей буквой и сразу записывают расшифровку обозначений. Такая запись предотвращает путаницу: по одной букве без пояснения нельзя понять, какое именно условие имеется в виду. Если два разных высказывания обозначить одной переменной, формула потеряет часть исходного смысла.

Затем находят слова, задающие логические операции. «Не» означает отрицание, «и» — одновременное выполнение условий, «или» — выбор хотя бы одного варианта, а «если… то» — зависимость между условием и следствием. Перевод связок нужен для того, чтобы не угадывать смысл по внешнему виду формулы, а точно воспроизвести отношения между частями предложения.

Сложное условие строят по частям: сначала записывают простые высказывания, затем объединяют близкие по смыслу группы. Так легче увидеть, к какой части относится каждая связка и отрицание. Скобки явно показывают структуру: например, (A ∨ B) ∧ C отличается от A ∨ (B ∧ C), потому что в первом случае сначала выбирают один из двух вариантов, а затем требуют C.

После записи формулы расставляют скобки и проверяют порядок выполнения операций. Это особенно важно, если в одном предложении встречаются «и», «или» и «не»: без скобок отрицание или группа условий могут быть поняты неправильно. Проверка состоит в обратном чтении формулы и сравнении каждой её части с исходным условием.

Этапы построения логической формулы

Таблицу удобно использовать как последовательный алгоритм, не пропуская ни одного шага. На первых этапах работают с текстом, а на последних проверяют уже полученную запись. Если на проверке смысл не совпал, нужно вернуться к обозначениям или скобкам.

Разбор задач

Число делится на 3 и не делится на 5

Условие: «Число x делится на 3 и не делится на 5». Здесь есть два самостоятельных высказывания и одно отрицание.

1. Обозначим A: «x делится на 3», B: «x делится на 5».
2. Союз «и» задаёт операцию ∧, а слово «не» перед вторым высказыванием — операцию ¬.
3. Соединим части в порядке исходного предложения: A ∧ ¬B.

Ответ: A ∧ ¬B. Формула истинна только тогда, когда число делится на 3 и одновременно не делится на 5.

Условие допуска ученика

Условие: «Ученик получит допуск, если выполнит лабораторную работу или сдаст зачёт и не имеет пропусков». Сначала нужно понять границы групп: выбор между лабораторной работой и зачётом относится к одному блоку, а отсутствие пропусков требуется дополнительно.

1. Пусть A: «ученик выполнил лабораторную работу», B: «ученик сдал зачёт», C: «ученик имеет пропуски».
2. Фраза «выполнит лабораторную работу или сдаст зачёт» даёт A ∨ B. «Не имеет пропусков» записывается как ¬C.
3. Соединим два блока операцией И и поставим скобки: (A ∨ B) ∧ ¬C.

Ответ: (A ∨ B) ∧ ¬C. Одного из первых двух достижений достаточно, но пропусков быть не должно.

Срабатывание системы и датчики

Условие: «Система сработает тогда и только тогда, когда датчик A включён, а датчик B или датчик C неисправен». Слово «а» здесь соединяет обязательные части, а «или» объединяет два возможных неисправных датчика.

1. Обозначим P: «система сработает», A: «датчик A включён», B: «датчик B неисправен», C: «датчик C неисправен».
2. Правая часть условия имеет вид A ∧ (B ∨ C): датчик A должен быть включён, и неисправен хотя бы один из датчиков B и C.
3. «Тогда и только тогда» обозначает равносильность, поэтому итоговая формула: P ↔ (A ∧ (B ∨ C)).

Ответ: P ↔ (A ∧ (B ∨ C)). Вложенные скобки показывают, что сначала рассматривается выбор между неисправностью B и C, а затем этот результат соединяется с включённым датчиком A.

Типичные ошибки

Ошибка: считать высказыванием любое предложение. Вопрос, просьба или фраза с неопределённым смыслом не имеют однозначного значения истины, поэтому их нельзя напрямую обозначить переменной. Проверьте предложение вопросом: можно ли для него уверенно ответить «истина» или «ложь»?

Ошибка: путать «и» с «или». Такое происходит, когда в обычной речи «или» иногда используют неточно, но в формуле оно означает возможность выполнить хотя бы одно условие. Для проверки спросите себя, обязательны ли обе части или достаточно одной.

Ошибка: отбросить отрицание или отнести его не к той части. Причина обычно в длинном предложении без скобок: ¬(A ∨ B) и ¬A ∨ B имеют разный смысл. Прочитайте формулу словами и убедитесь, что «не» относится именно к нужной группе.

Ошибка: записать переменные без определения. Тогда буква A может обозначать что угодно, а проверить формулу по условию невозможно. Перед формулой составьте короткий список: A — первое высказывание, B — второе, C — третье.

Связь с другими темами

Для построения формул нужно знать значения операций НЕ, И, ИЛИ и правила записи логических выражений. Эти навыки применяются при составлении условий в алгоритмах и программах, где логические выражения управляют выбором действий. Построенные формулы также используют в таблицах истинности, при упрощении выражений и проектировании логических схем.

Что запомнить

• Сначала выделяют простые высказывания, затем соединяют их логическими операциями.
• Каждой логической переменной соответствует конкретное простое высказывание.
• Слово «не» обозначает отрицание высказывания.
• Союз «и» задаёт конъюнкцию, а «или» — дизъюнкцию.
• Скобки помогают сохранить смысл частей сложного условия.
• Готовую формулу нужно проверить по исходному тексту, а не только по внешнему виду.