§ 35. Функциональные отношения

Определения и обозначения

Функциональное отношение — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой. Например, каждому числу поездок можно поставить в соответствие их стоимость. Это понятие нужно, чтобы отличать однозначно определённые зависимости от случаев, где результат нельзя определить единственным образом.

Аргумент — независимая величина, значение которой выбирают или задают, чтобы получить результат. В записи y = f(x) аргументом обычно является x. Он играет роль входных данных: изменяя его в разрешённых пределах, мы исследуем, как меняется результат.

Функция — правило, которое каждому значению аргумента из области определения ставит в соответствие единственное значение. Правилом может быть формула, таблица, описание действий или программа. Функция нужна для точного вычисления результата по заданному входному значению.

Область определения и область значений — соответственно множество допустимых значений аргумента и множество значений, которые принимает функция. Первая область показывает, какие входные данные разрешены, а вторая — какие результаты реально получаются. Эти множества могут совпадать, но чаще они различаются.

Как это устроено

В быту изменение одной величины часто связано с изменением другой: стоимость покупок зависит от количества товара, а пройденный путь — от времени и скорости. В вычислениях такая связь превращается в правило, которое принимает входное значение и выдаёт результат. Если цена одного товара постоянна, стоимость можно найти умножением цены на количество, поэтому каждому количеству соответствует одна стоимость.

Однозначность нужна потому, что функция должна давать определённый ответ на каждый разрешённый запрос. Если одному значению аргумента поставить в соответствие два результата, правило не подскажет, какой из них выбрать. Произвольная зависимость может связывать величины без такого ограничения: один аргумент способен иметь несколько результатов, поэтому она не всегда является функцией.

Правило соответствия задают разными способами. Формула показывает вычисление символами, таблица перечисляет пары «аргумент — результат», словесное описание объясняет зависимость обычными словами, а алгоритм или программа задаёт последовательность действий для получения ответа. Разные записи могут описывать одну и ту же функцию, если для каждого допустимого аргумента дают одинаковый результат.

Чтобы решить задачу, сначала выделяют величину, которую задают, и устанавливают её допустимые значения. Затем подставляют выбранное значение в формулу или выполняют действия, указанные таблицей, описанием либо алгоритмом. Запись y = f(x) читается так: x — аргумент, f — правило соответствия, а y — значение функции, полученное после применения этого правила.

Способы задания функционального отношения

При чтении таблицы сначала найдите строку или столбец с аргументом, а затем соответствующий ему результат. В формуле и программе проверьте, какие значения разрешено вводить. Словесное правило полезно перевести в последовательность действий, чтобы не перепутать порядок вычислений.

Разбор задач

Стоимость поездок

Стоимость поездки вычисляется по формуле C = 40n, где n — число поездок. Нужно найти стоимость для n = 3 и объяснить смысл обеих величин. Здесь аргументом является количество поездок, а стоимость зависит от него однозначно.

1. Подставим в формулу заданное значение: C = 40 · 3.
2. Выполним умножение: C = 120.
3. Проверим смысл результата: 120 — стоимость трёх поездок в условных денежных единицах, если одна поездка стоит 40.

Ответ: при n = 3 стоимость равна C = 120. Аргумент — число поездок n, результат — стоимость C.

Значения функции и область определения

Дана функция y = x² − 1, причём −2 ≤ x ≤ 3. Требуется найти значения при x = −2, 0 и 3, а также назвать область определения. Ограничение нельзя забывать: вычислять нужно только для x от −2 до 3 включительно.

1. При x = −2 получаем y = (−2)² − 1 = 4 − 1 = 3.
2. При x = 0 получаем y = 0² − 1 = −1.
3. При x = 3 получаем y = 3² − 1 = 9 − 1 = 8.
4. Из условия сразу следует область определения: все x из отрезка [−2; 3].

Ответ: значения функции равны 3, −1 и 8 соответственно. Область определения — −2 ≤ x ≤ 3; найденные результаты являются значениями функции для выбранных аргументов.

Зависимость времени от скорости

При постоянном расстоянии 120 км в таблице указаны пары: скорость 40, 60, 80 и 120 км/ч, а время 3, 2, 1,5 и 1 час соответственно. Нужно восстановить правило, найти время при скорости 80 км/ч и проверить функциональность. Связь между временем, расстоянием и скоростью подсказывает, какое выражение искать.

1. Перемножим скорость и время в каждой паре: 40 · 3 = 120, 60 · 2 = 120, 80 · 1,5 = 120.
2. Значит, при постоянном расстоянии время находится по правилу t = 120/v, где v — скорость.
3. Для v = 80 вычислим t = 120/80 = 1,5 часа.
4. Каждой указанной скорости соответствует одно время, поэтому данная зависимость функциональна на заданном наборе скоростей.

Ответ: правило имеет вид t = 120/v, а при скорости 80 км/ч время равно 1,5 часа. Соответствие является функциональным, поскольку каждому допустимому значению скорости поставлен в соответствие единственный результат.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функциональным любое соответствие. Её допускают, потому что само наличие связи между величинами ещё не гарантирует однозначности. Проверьте каждое значение аргумента: если для одного из них записаны два разных результата, это не функция.

Ошибка — путать аргумент и значение функции. Иногда ученик видит два числа и не учитывает направление зависимости: в y = f(x) именно x подставляют в правило, а y получают после вычисления. Для проверки спросите себя, какая величина является входной, а какая — результатом.

Ошибка — игнорировать ограничения условия. Подстановка запрещённого значения может привести к неверному ответу или выражению, не имеющему смысла. Перед вычислением выпишите область определения и убедитесь, что выбранный аргумент в неё входит.

Ошибка — считать область значений совпадающей с областью определения. Это разные множества: первое содержит допустимые аргументы, второе — полученные результаты. Найдите значения функции для всех разрешённых аргументов и составьте множество результатов отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с функциональными отношениями нужны переменные, числовые выражения, формулы и подстановка значений. Эти умения позволяют понять, какая величина является входной, правильно преобразовать правило и вычислить результат. Без них легко перепутать обозначения или нарушить порядок действий.

Функциональные отношения лежат в основе математических и информационных моделей. Их используют при обработке табличных данных, расчёте показателей и создании алгоритмов, где одни данные преобразуются в другие. В программе аргументы становятся входными данными, а значение функции — выданным результатом.

Что запомнить

• Функциональное отношение задаёт однозначное соответствие.
• Аргумент — входное значение; значение функции — результат применения правила.
• Одну и ту же функцию можно задать формулой, таблицей, описанием или алгоритмом.
• Область определения указывает, какие значения аргумента допустимы.
• Область значений состоит из результатов, получаемых при допустимых аргументах.