§ 18. Логические величины, операции, выражения

Определения и обозначения

Логическая величина принимает одно из двух значений: истина или ложь. В информатике их часто обозначают числами 1 и 0 соответственно. Это соглашение позволяет записывать истинность утверждений в удобной для вычислений форме. При этом 0 и 1 обозначают не количество, а логическое состояние.

Логическая переменная обозначает логическую величину и может принимать значение 0 или 1. Обычно переменные записывают заглавными латинскими буквами, например A, B или C. Такая запись помогает кратко описывать утверждения, истинность которых может меняться. Подставляя в переменные значения, можно вычислить всё выражение.

Логическая операция задаёт правило, по которому из одного или нескольких исходных логических значений получают новое. Например, операция НЕ действует на одно значение, а И и ИЛИ — на два. Операции нужны, чтобы соединять условия и описывать более сложные ситуации. Их результат всегда остаётся истинным или ложным.

Логическое выражение состоит из логических переменных, значений и операций между ними. Пример такой записи — A И НЕ B. После того как значения переменных заданы, выражение можно вычислить по правилам операций. Его результатом будет 0 или 1, то есть ложь или истина.

Как это устроено

Логика работает с высказываниями, о которых можно однозначно сказать, истинны они или ложны. Например, утверждение «число 8 чётное» истинно, а «число 8 меньше 3» ложно. Если истинность высказываний представить значениями 1 и 0, рассуждение можно превратить в последовательность вычислений. Это особенно полезно компьютеру: он проверяет условия по чётким правилам, а не по смысловым догадкам.

Отрицание обозначают НЕ и применяют к одному операнду — исходному значению операции. Оно меняет истинность высказывания на противоположную: если A = 1, то НЕ A = 0, а если A = 0, то НЕ A = 1. Так можно выразить, например, условие «не идёт дождь» через исходное утверждение «идёт дождь». Отрицание позволяет строить условие, противоположное заданному.

Конъюнкция, или логическое И, соединяет два условия и соответствует требованию выполнить их одновременно. Чтобы A И B было истинным, оба условия должны быть истинными; достаточно ложности хотя бы одного, чтобы результат стал ложным. Например, допуск может требовать одновременно наличия билета и документа. Такая операция нужна там, где для действия должны выполняться все перечисленные требования.

Дизъюнкция, или логическое ИЛИ, соединяет условия так, что достаточно выполнения хотя бы одного. Результат ложен только в случае, когда ложны оба операнда. Например, для входа может подойти пропуск или приглашение, а наличие обоих тоже удовлетворяет условию. В логике ИЛИ обычно включает случай, когда истинны сразу оба условия, поэтому его смысл шире бытового «или одно, или другое».

Для вычисления сложного выражения составляют таблицу истинности — перечень результатов для всех возможных наборов значений переменных. Сначала выполняют действия в скобках, затем учитывают приоритет операций: сначала НЕ, после него И, затем ИЛИ. Поэтому для каждой строки таблицы полезно записывать промежуточные значения. Такой порядок исключает неоднозначность и помогает найти, на каком шаге возникла ошибка.

Значения логических операций

Каждая строка показывает один возможный набор значений A и B, а остальные столбцы — результаты операций для этого набора. Чтобы найти результат, выберите строку с нужными значениями переменных и прочитайте значение в столбце нужной операции. Для выражения с несколькими действиями сначала добавляют столбцы для промежуточных частей.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значение выражения НЕ A, если A = 1.

Здесь дана одна переменная и операция отрицания, поэтому других частей вычислять не нужно. НЕ меняет значение на противоположное. Применим это правило к заданному A.

1. Записываем исходное значение: A = 1.
2. Находим противоположное логическое значение: для 1 это 0.
3. Следовательно, НЕ A = 0.

Ответ: 0. Это означает, что при истинном A высказывание НЕ A ложно.

Задача 2. Вычислите A ИЛИ B, если A = 0, B = 1.

Операция ИЛИ даёт истину, когда истинен хотя бы один из операндов. Проверим оба значения: A ложно, а B истинно. Значит, условие «хотя бы одно истинно» выполняется.

1. Подставляем значения: 0 ИЛИ 1.
2. Проверяем, есть ли среди операндов значение 1: да, это B.
3. По правилу дизъюнкции записываем результат 1.

Ответ: A ИЛИ B = 1. Для результата не требуется, чтобы оба операнда были истинными.

Задача 3. Постройте таблицу истинности выражения (A И B) ИЛИ НЕ C.

В выражении три переменные, поэтому нужно рассмотреть все 2³ = 8 наборов значений. Скобки показывают, что A И B вычисляется как отдельная часть, а НЕ C — другая. Затем результаты этих частей соединяются операцией ИЛИ.

1. Перечисляем наборы A, B и C от 000 до 111.
2. Для каждой строки вычисляем A И B и отдельно НЕ C.
3. В последнем столбце находим результат частей ИЛИ; он равен 1, если хотя бы одна часть равна 1.

Ответ: итоговые значения выражения по строкам — 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1. Например, в последней строке A И B равно 1, поэтому всё выражение истинно, хотя НЕ C равно 0.

Типичные ошибки

Иногда считают, что A ИЛИ B истинно только при истинности обоих операндов. Это правило относится к конъюнкции, а путаница возникает из-за смешения названий операций. Проверьте себя по строке A = 1, B = 0: ИЛИ здесь даёт 1. Если записан 0, значит, применено не то правило.

Другая ошибка — считать, что A И B достаточно одного истинного операнда. Так рассуждают, перенося на И правило дизъюнкции. Но конъюнкция требует выполнения обоих условий одновременно. Для проверки возьмите A = 1, B = 0: результат И равен 0, а не 1.

Значения 0 и 1 иногда принимают за отсутствие значения и обычное число. В логическом выражении это коды ложного и истинного, поэтому 0 — полноценное логическое значение, а не пустая ячейка. Ошибка возникает, если переменную с 0 пропускают при вычислении. Проверьте, что для каждого набора всем переменным присвоены значения и каждая операция выполнена.

Сложное выражение легко вычислить неверно, если не учитывать скобки и порядок действий. Например, поспешное выполнение ИЛИ до НЕ может изменить промежуточный результат. Чтобы проверить себя, подпишите порядок вычислений и заведите отдельные столбцы для частей выражения. Итог должен получаться из этих промежуточных значений, а не из догадки.

Связь с другими темами

Для работы с логическими операциями нужно понимать, что такое высказывание и как отличить истинное утверждение от ложного. В программировании логические выражения задают условия ветвления и циклов: по их результату программа выбирает дальнейшее действие или решает, продолжать ли повторение. Таблицы истинности применяют при анализе логических схем и проверке равносильности выражений. Это связывает рассуждения о высказываниях с устройством программ и цифровых систем.

Что запомнить

• Логические значения — истина и ложь; в информатике их часто обозначают 1 и 0.
• НЕ меняет значение на противоположное.
• A И B истинно только при A = 1 и B = 1.
• A ИЛИ B истинно, если истинен хотя бы один операнд.
• Таблица истинности показывает результат операции для всех наборов исходных значений.
• Скобки задают порядок вычисления частей выражения.