2.6.6. Оптимизационное моделирование в экономике

Определения и обозначения

Оптимизационная задача — задача выбора допустимого решения, при котором заданный показатель достигает наибольшего или наименьшего значения. Например, предприятие может искать план с максимальной прибылью или минимальными затратами. Это понятие помогает отличить задачу выбора лучшего варианта от задачи, где требуется просто найти неизвестное.

Целевая функция — математическое выражение показателя, который требуется максимизировать или минимизировать. Если прибыль с единицы двух товаров равна p₁ и p₂, а объёмы выпуска — x и y, прибыль можно записать как P = p₁x + p₂y. Такая формула точно задаёт, по какому показателю будут сравниваться планы.

Ограничения — условия задачи, записанные в виде уравнений или неравенств и определяющие допустимые решения. Например, расход сырья не может быть больше его запаса, поэтому записывают неравенство с обозначением «≤». Ограничения нужны, чтобы математический расчёт учитывал реальные возможности и требования.

Допустимое решение — набор значений переменных, удовлетворяющий всем ограничениям задачи. Если значения выпуска товаров не нарушают лимиты сырья и не являются отрицательными, такой план допустим. Сначала отбирают именно допустимые планы, а уже затем выбирают среди них лучший по целевой функции.

Как это устроено

Сначала экономическую ситуацию переводят на язык математики: выделяют неизвестные величины, показатель для улучшения и условия задачи. Это необходимо, потому что обычное описание словами неоднозначно для вычислений, а переменные и формулы позволяют точно сравнивать варианты. Например, объёмы выпуска можно обозначить x и y, а запас материала — отдельным числом в условии.

Целевую функцию составляют из данных о доходах, расходах, производительности или других показателях. Вид функции зависит от вопроса: чтобы увеличить прибыль, складывают прибыль от каждого вида продукции, а чтобы сократить затраты — выражают общие расходы. Если выбрать показатель, не соответствующий цели, расчёт может быть математически верным, но ответит не на тот вопрос.

Ограничения возникают из условий, которые нельзя произвольно изменить: ресурсов может быть конечное количество, спрос — ограничен, а производство занимает время. Такие условия записывают уравнениями и неравенствами, чтобы исключить планы, невозможные на практике. В модели также указывают требования к переменным, например x ≥ 0, поскольку отрицательный объём выпуска не имеет смысла.

Все наборы значений переменных, удовлетворяющие ограничениям, образуют область допустимых решений. Оптимум ищут только внутри этой области, так как значение целевой функции у недопустимого плана не делает его осуществимым. Поэтому нельзя просто выбрать самый высокий расчётный доход, не проверив, хватает ли для него ресурсов.

Задачу решают математическими методами или средствами электронных таблиц, например инструментом поиска решения. В таблице задают изменяемые ячейки для переменных, формулу целевой функции и ограничения, после чего указывают, требуется максимум или минимум. Найденные значения нужно сверить с условиями и истолковать: проверить ограничения, единицы измерения и практический смысл плана.

Элементы оптимизационной модели

Таблица показывает, какую роль играет каждый элемент и как его представить в модели. При составлении задачи сначала определите переменные и целевой показатель, затем переведите условия в ограничения. Последняя проверка — убедиться, что выбранный план допустим и действительно лучше других по заданному критерию.

Разбор задач

Задача 1. Для двух видов изделий известны затраты материала на единицу: a и b. Запас материала равен A. Нужно составить модель объёмов выпуска, не превышающих запас. Условие сообщает, какие планы допустимы, но не говорит, какой из них лучше.

1. Обозначим через x и y количество изделий первого и второго вида.
2. Расход материала составит ax + by. Чтобы он не превышал запас, запишем ax + by ≤ A.
3. Добавим x ≥ 0 и y ≥ 0. Для выбора конкретного лучшего плана нужна целевая функция: например, прибыль или объём выпуска.

Ответ: модель ограничений — ax + by ≤ A, x ≥ 0, y ≥ 0. Найти оптимальный план пока нельзя: в условии не задан показатель, который требуется максимизировать или минимизировать.

Задача 2. Предприятие выпускает два товара. Прибыль на единицу равна p₁ и p₂, расход ресурсов на единицу — a₁, b₁ для первого товара и a₂, b₂ для второго. Запасы ресурсов равны A и B. Требуется получить план с наибольшей прибылью; числовые значения не заданы, поэтому составим общую модель.

1. Пусть x и y — объёмы выпуска товаров. Общая прибыль равна P = p₁x + p₂y, поэтому цель — максимизировать P.
2. Для первого ресурса запишем a₁x + b₁y ≤ A, для второго — a₂x + b₂y ≤ B. Добавим x ≥ 0 и y ≥ 0.
3. Найдём значения x и y, которые выполняют все неравенства и дают наибольшее P. При заданных числах это можно сделать математическим методом или инструментом поиска решения в таблице.

Ответ: требуется максимизировать P = p₁x + p₂y при указанных ограничениях. Без конкретных данных можно составить модель, но нельзя вычислить числовой план выпуска.

Задача 3. Нужно составить электронную таблицу для выпуска нескольких видов продукции при ограничениях по ресурсам и спросу. Известна прибыль с единицы каждого вида; требуется найти план с наибольшей общей прибылью. Числовые данные здесь не приведены, поэтому зададим устройство таблицы и порядок поиска.

1. В отдельные ячейки внесём объёмы выпуска x₁, x₂ и далее; эти ячейки будут изменяемыми. Рядом запишем прибыль с единицы продукции и нормы расхода ресурсов.
2. Создадим формулу общей прибыли, например P = p₁x₁ + p₂x₂ + …, и формулы суммарного расхода каждого ресурса. По ним сравнивают расход с запасом, а выпуск — с ограничениями спроса.
3. В средстве поиска решения укажем максимизацию P, изменяемые ячейки и все ограничения, включая неотрицательность выпуска. После расчёта подставим найденные значения в условия и проверим, что прибыль рассчитана по нужным данным.

Ответ: электронная таблица должна содержать переменные выпуска, формулы прибыли и расходов, а также все ограничения. Числовой план можно получить только после ввода исходных данных и поиска максимума.

Типичные ошибки

• Максимизируют не тот показатель. Например, выбирают наибольшую выручку, хотя вопрос задачи — о прибыли. Это происходит, когда формулу строят по первому заметному числу, не перечитав цель; проверьте, совпадает ли название целевой функции с тем, что требуется найти.
• Пропускают или неверно записывают ограничение. Тогда модель допускает план, который не помещается в запас ресурсов или не соответствует спросу. Ошибка возникает при буквальном переносе текста без проверки знака; подставьте предполагаемый план и спросите себя, отражает ли неравенство каждое условие задачи.
• Не задают неотрицательность переменных. Без условий x ≥ 0 и y ≥ 0 расчёт может предложить отрицательный выпуск, который нельзя реализовать. Проверьте, имеют ли все найденные значения смысл для величин, обозначенных переменными.
• Принимают результат программы без проверки. Даже вычислительный инструмент требует правильно заданной модели, а ошибка во входных формулах может дать неверный ответ. Подставьте результат в каждое ограничение, пересчитайте целевую функцию и оцените, реалистичны ли полученные значения.

Связь с другими темами

Для построения модели нужны навыки работы с переменными, выражениями, уравнениями и неравенствами: именно так текстовые условия превращаются в математические записи. Тема связана с электронными таблицами — формулами, ссылками на ячейки и средствами поиска решения, которые помогают вычислять оптимальный план. Такие модели применяют при планировании производства, распределении ресурсов, составлении расписаний и выборе наиболее выгодного варианта.

Что запомнить

• В модели есть переменные, целевая функция и ограничения.
• Целевая функция показывает, что именно требуется максимизировать или минимизировать.
• Ограничения описывают условия реальной ситуации.
• Допустимое решение удовлетворяет всем ограничениям.
• Оптимальное решение — лучшее из допустимых по целевой функции.
• Результат вычислений нужно проверить и истолковать в контексте задачи.