"Информатика (базовый уровень)", Угринович Н.Д.
Система счисления задаёт правила, по которым числа записывают с помощью цифр и других знаков. В позиционной системе одна и та же цифра может обозначать разные величины: её вклад зависит от места в записи и основания системы. Это позволяет записывать числа компактно и однозначно, а также переводить их из одной системы в другую. Разрядный принцип особенно важен для понимания двоичной записи, которую используют компьютеры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи чисел с помощью набора символов и правил их использования. Системы делятся на позиционные и непозиционные: в первых значение символа связано с его местом, во вторых — нет. Это различие помогает понять, почему запись числа зависит не только от выбранных знаков, но и от правил их расположения.
Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых в ней. Если основание равно q, допустимы цифры от 0 до q − 1: например, при q = 2 это 0 и 1. По основанию можно определить алфавит системы и веса её разрядов.
Разряд числа — позиция цифры в записи числа. В позиционной системе значение цифры зависит от разряда: одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или сотни. Понятие разряда позволяет разложить число на отдельные слагаемые и вычислить его значение.
Алфавит системы счисления — набор знаков, которыми записывают числа. В десятичной системе это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в двоичной — только 0 и 1. Знание алфавита нужно, чтобы проверять, допустима ли запись числа в выбранной системе.
В непозиционной системе символ сохраняет своё значение независимо от места, поэтому для понимания записи достаточно знать правила сложения или сочетания символов. В позиционной системе место цифры задаёт её вес, и одна цифра может участвовать в записи разных разрядов. Именно это позволяет обходиться ограниченным набором знаков и записывать с его помощью сколь угодно большие числа.
Чтобы найти значение позиционной записи, каждый знак умножают на вес его разряда, а полученные результаты складывают. Вес задаёт степень основания: целые разряды справа налево имеют степени 0, 1, 2 и далее, а дробные разряды после запятой — степени −1, −2 и далее. Поэтому запись с целой и дробной частями представляет собой сумму вкладов всех цифр, а запятая отделяет положительные степени от отрицательных.
Основание определяет, во сколько раз отличаются веса соседних разрядов. При движении влево вес увеличивается в q раз, поскольку степень основания возрастает на единицу; при движении вправо он уменьшается в q раз. Например, в десятичной системе соседние целые разряды имеют веса 1, 10 и 100, а дробные — 1/10, 1/100 и далее.
Десятичную запись удобно раскрывать по разрядам, чтобы увидеть, из каких частей складывается число. Например, 347₁₀ = 3·10² + 4·10¹ + 7·10⁰: цифры означают три сотни, четыре десятка и семь единиц. Тот же принцип работает при любом основании: меняются степени основания и допустимые цифры, но сумма вкладов по-прежнему даёт значение записи.
Если основание больше 10, одних привычных цифр может не хватить, поэтому к алфавиту добавляют буквы или другие условные знаки. В шестнадцатеричной системе, например, A обозначает значение 10, B — 11 и так далее. Буква остаётся цифрой системы: её вклад, как и вклад обычной цифры, определяется умножением на степень основания.
| Часть записи | Разряд | Вес разряда | Вклад цифры a |
|---|---|---|---|
| Целая | k-й разряд слева от запятой, начиная с нулевого справа | qk | a · qk |
| Дробная | k-й разряд справа от запятой, начиная с первого | q−k | a · q−k |
| Число целиком | Все разряды записи | Степени q | Сумма вкладов всех цифр |
Для целой части отсчитывайте разряды от запятой влево: крайнему правому соответствует k = 0. Для дробной части счёт начинается с единицы сразу справа от запятой, поэтому её вес — q⁻¹. Умножьте цифру каждого разряда на его вес и сложите вклады, чтобы получить значение числа.
Здесь основание равно 10, поэтому каждый шаг влево от единиц увеличивает вес разряда в десять раз. Сначала определим позиции цифр: 7 стоит в разряде единиц, 4 — десятков, 3 — сотен. Затем умножим каждую цифру на соответствующую степень основания.
Ответ: 347₁₀ = 300 + 40 + 7. Такая запись показывает, как разряды определяют вклад каждой цифры в число. Нулевую степень не пропускают в формуле, поскольку 10⁰ = 1.
Нужно не читать цифры как десятичные, а учитывать основание 2 и веса двоичных разрядов. Крайняя справа цифра занимает разряд единиц, а каждый следующий разряд слева имеет вес вдвое больше. Цифра 0 даёт нулевой вклад, но её разряд всё равно учитывается при определении весов соседних цифр.
Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Проверка по разрядам подтверждает результат: в записи есть одна восьмёрка, одна двойка и одна единица. Нулевой разряд двоек не увеличивает сумму.
Основание здесь равно 16, а A — условное обозначение цифры со значением 10. Цифра 2 стоит в разряде шестнадцати, A — в разряде единиц, а 5 после запятой — в разряде шестнадцатых долей. Для дробной цифры используем отрицательную степень основания.
Ответ: 2A,5₁₆ = 42,3125₁₀. Дробная часть равна 5/16, то есть 0,3125, потому что 16⁻¹ = 1/16. Подстановка A как числа 10 обязательна: буква здесь обозначает цифру, а не отдельную переменную.
Ошибка — считать, что цифра имеет одно и то же значение при любом расположении. Например, в десятичном числе 55 левая пятёрка означает 50, а правая — 5, потому что их разряды имеют разные веса. Такую ошибку допускают, когда смотрят только на знак и забывают о позиции; проверка — подписать степени основания под каждой цифрой.
Нельзя включать в запись цифру, которой нет в алфавите системы: в двоичной записи допустимы только 0 и 1. Путаются обычно потому, что переносят привычные десятичные цифры в систему с меньшим основанием. Перед вычислением проверьте каждую цифру условием 0 ≤ цифра < q.
Для цифр после запятой ошибочно использовать положительные степени основания. Например, первый разряд после запятой имеет вес q⁻¹, а не q¹, поскольку его вклад меньше единицы. Ошибка возникает при продолжении счёта разрядов влево направо; проверить себя можно, убедившись, что дробные веса равны 1/q, 1/q² и уменьшаются.
Основание — не число разрядов в записи и не значение самого числа, а количество цифр в алфавите системы. Например, короткая запись может иметь основание 16, хотя в ней всего три знака. Если возникла путаница, перечислите допустимые цифры и отдельно посчитайте позиции в конкретной записи: это разные вещи.
Для работы с разрядами полезно знать устройство десятичной записи, умножение и возведение в целую степень. Эти навыки позволяют без новых правил раскладывать число на слагаемые и вычислять вклад каждой цифры. Дробные разряды также опираются на знакомую запись долей через дроби.
Разрядный принцип лежит в основе перевода чисел между системами счисления: при переводе сохраняют значение числа, меняя способ его записи. Он связан и с представлением данных в памяти компьютера, где информация кодируется последовательностями условных знаков. Поэтому понимание веса разрядов помогает разбираться в том, как компьютер хранит числовые значения.
Двоичная система использует только два знака — 0 и 1, что делает её естественной для цифровой техники. Устройства различают два состояния, которым можно сопоставить эти цифры. Так тема систем счисления связывается с кодированием информации и принципами работы компьютеров.
Чем позиционная система счисления отличается от непозиционной?
В непозиционной системе значение символа не зависит от его места в записи. В позиционной системе вклад цифры определяется и её значением, и разрядом: например, в числе 55 цифры 5 обозначают десятки и единицы.
Почему в двоичной системе нельзя использовать цифру 2?
Основание двоичной системы равно 2, поэтому её алфавит состоит из цифр от 0 до 2 − 1: это 0 и 1. Цифра 2 в этот алфавит не входит, и запись с ней не является двоичной.
Как определить значение цифры в конкретном разряде?
Нужно умножить значение цифры на вес её разряда. Вес равен степени основания системы: например, разряд десятков в десятичной системе имеет вес 10¹, а второй разряд справа после запятой — 10⁻².
Почему после запятой степени основания отрицательные?
Каждый шаг вправо уменьшает вес разряда в число раз, равное основанию. Поэтому первый разряд после запятой имеет вес q⁻¹, то есть 1/q, следующий — q⁻², то есть 1/q².
Как вычислить значение записи числа в другой системе счисления?
Разложите запись в сумму произведений цифр на степени основания, соответствующие их разрядам. Для разрядов слева от запятой степени неотрицательные, для разрядов справа — отрицательные. Вычислите сумму, учитывая значение каждой цифры.
1.5.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления
