§ 16. Схема рассуждений

Определения и обозначения

Рассуждение — последовательность связанных мыслей, с помощью которой обосновывают ответ или утверждение. Иными словами, это путь от известных сведений к тому, что нужно доказать или узнать. Рассуждение помогает не просто назвать ответ, а показать, почему он получен. По его шагам можно проверить, достаточно ли исходных данных.

Посылка — исходное утверждение, которое используют в рассуждении. Посылки сообщают то, что уже известно или принято как данное. Их нужно отделять от результата, иначе станет непонятно, откуда взялся вывод. Например, «фигура A — квадрат» может быть посылкой задачи.

Заключение — утверждение, полученное из посылок. Оно отвечает на вопрос задачи или выражает результат рассуждения. Чтобы заключение было обоснованным, оно должно следовать из исходных утверждений. Если нужной связи нет, одного совпадения по теме недостаточно.

Схема рассуждения — изображение связей между посылками и заключением с помощью блоков и стрелок. Блоками записывают утверждения, а стрелками показывают, как из одних утверждений получается другое. Такая запись нужна, чтобы сделать ход мысли наглядным. В длинной схеме она также помогает увидеть пропущенные шаги.

Как это устроено

Рассуждение начинают с исходных утверждений — посылок, а отдельно отмечают то, что требуется получить. Это разделение нужно, чтобы не подменить доказательство уже готовым ответом. Если записать искомое как данное, схема не покажет, на чём основан вывод. Поэтому перед построением полезно спросить себя: что известно и что нужно установить?

Стрелка показывает, какое утверждение или какие утверждения используются для получения следующего вывода. Она направлена от основания рассуждения к результату, потому что схема отображает ход мысли, а не просто перечисляет фразы. Если поменять направление, можно ошибочно представить заключение как исходное данное. При чтении схемы каждый раз прослеживай стрелку от её начала к концу.

Для некоторых выводов требуются несколько посылок одновременно. Например, правило о свойствах квадратов само по себе не сообщает, что именно фигура A является квадратом; одного факта о фигуре также недостаточно, чтобы определить её свойство прямоугольника. Поэтому обе посылки связывают с одним выводом. Так схема показывает, что ни одно из условий нельзя отбросить.

Длинное рассуждение удобно разбивать на шаги, потому что один прямой переход не всегда очевиден. Сначала получают промежуточный вывод, а затем используют его вместе с другими сведениями. Заключение предыдущего шага становится посылкой следующего. Благодаря этому можно последовательно проследить весь путь от начальных данных до ответа.

Готовую схему проверяют по смыслу, потому что аккуратно нарисованные стрелки сами по себе не доказывают правильность вывода. Для каждой стрелки нужно выяснить, следует ли утверждение в конце из того, что стоит в начале. Если нужны два условия, проверь, что на схеме присутствуют оба. Такая проверка обнаруживает необоснованные переходы и недостающие звенья.

Элементы схемы рассуждения

Сначала выпиши посылки и заключение, а затем добавь промежуточные выводы, если рассуждение состоит из нескольких шагов. Стрелки проведи от тех утверждений, которые действительно нужны для каждого перехода. При проверке таблица помогает убедиться, что у каждого вывода есть основание.

Разбор задач

Квадрат и прямоугольник

Условие: все квадраты — прямоугольники; фигура A — квадрат. Нужно составить схему и указать вывод. Здесь первое утверждение задаёт правило, а второе сообщает, к какой фигуре его применить. Для заключения нужны обе посылки одновременно.

1. Запишем посылку 1: «Все квадраты — прямоугольники».
2. Запишем посылку 2: «Фигура A — квадрат».
3. Соединим обе посылки стрелками с общим выводом: правило подходит к фигуре A, потому что она квадрат.
4. Запишем заключение: «Фигура A — прямоугольник».

Ответ: фигура A — прямоугольник. Если оставить только правило, неизвестно, является ли A квадратом; если оставить только факт о фигуре, не указано её свойство. Поэтому схема должна учитывать обе посылки.

Чётность числа

Условие: если число делится на 4, то оно чётное; число 28 делится на 4. Требуется представить рассуждение схемой. Первое утверждение задаёт связь между делимостью на 4 и чётностью, а второе проверяет, что это условие выполнено для 28. Вместе они дают основание для вывода.

1. Запишем посылку 1: «Если число делится на 4, то оно чётное».
2. Запишем посылку 2: «Число 28 делится на 4».
3. Проведём от обеих посылок стрелки к заключению: правило применяем именно к числу 28.
4. Запишем вывод: «Число 28 чётное».

Ответ: число 28 чётное. Условное утверждение без факта о делимости не позволило бы сделать вывод о конкретном числе. А факт о делимости становится полезен для заключения благодаря указанному правилу.

Дождь и скользкая дорожка

Условие: если идёт дождь, дорожка мокрая; если дорожка мокрая, она скользкая; идёт дождь. Нужно построить полную схему и найти заключение. Здесь два правила образуют цепочку, поэтому переход сразу от дождя к скользкой дорожке надо обосновать промежуточным шагом. Сначала применим первое правило, затем второе.

1. Посылки: «Если идёт дождь, дорожка мокрая»; «Если дорожка мокрая, она скользкая»; «Идёт дождь».
2. Соединим факт «идёт дождь» с первым правилом и получим промежуточный вывод: «Дорожка мокрая».
3. Используем этот вывод вместе со вторым правилом. Из утверждения «дорожка мокрая» следует, что она скользкая.
4. Внесём в схему цепочку: идёт дождь → дорожка мокрая → дорожка скользкая.

Ответ: дорожка скользкая. Промежуточный вывод показывает, как исходный факт приводит к результату, и объясняет применение второго правила. Если его не записать, ход рассуждения будет труднее проверить.

Типичные ошибки

Если принять заключение за посылку, получится, будто результат был известен с самого начала. Так случается, когда ученик торопится записывать утверждения и не отмечает, что дано, а что нужно получить. Проверь себя вопросом: это утверждение есть в условии или оно появляется только после рассуждения? Результат должен находиться в конце схемы, а не служить исходным основанием без объяснения.

Стрелка к выводу, который из её начала не следует, создаёт ложную связь. Утверждения могут быть близки по теме, но это ещё не означает, что одно доказывает другое. Чтобы проверить переход, произнеси его словами: «Из этого следует, что…» — и оцени, верно ли это. Если нужна дополнительная посылка, добавь её или не проводи такую стрелку.

Иногда для вывода требуется несколько посылок, но в схеме учитывают только одну. Причина — привычка искать одно подходящее утверждение и не проверять, выполнено ли условие правила. Сверь вывод со всеми словами правила: если оно требует сразу нескольких условий, покажи их вместе. Спроси себя, можно ли сделать тот же вывод, убрав одну посылку.

Пропуск промежуточного вывода делает длинную цепочку непонятной. Такая ошибка возникает, когда два шага мысленно объединяют и не записывают, на чём основан второй переход. Проверь, можно ли проследить путь от исходных сведений к заключению, не перескакивая через новые утверждения. Если для следующего шага используется результат предыдущего, внеси его в схему отдельным блоком.

Связь с другими темами

Для построения схемы нужно уметь различать утверждения и понимать смысл связок «если…, то…» и «и». Первое помогает распознавать правило и условие его применения, а второе — замечать, когда для вывода нужны несколько сведений сразу. Эти навыки позволяют верно определить посылки и заключение. Схемы рассуждений пригодятся при решении логических задач и при составлении алгоритмов: в них следующий шаг может зависеть от результатов предыдущих.

Что запомнить

• Посылки — исходные утверждения рассуждения.
• Заключение получают из посылок.
• Стрелка показывает направление получения вывода.
• Несколько необходимых посылок должны быть учтены вместе.
• В цепочке заключение одного шага может стать посылкой следующего.
• Каждый переход схемы нужно проверить по смыслу.