"Информатика", Горячев А.В., Суворова Н.И.
Множество — это совокупность объектов, объединённых в одно целое. Объекты множества называют элементами и задают перечислением или общим признаком. С помощью знаков ∈ и ∉ проверяют, входит ли объект в множество, а знаком ⊆ сравнивают два множества. Подмножество содержит только элементы другого множества, а пустое множество не содержит элементов и считается подмножеством любого множества.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, числа 2, 4 и 6 можно объединить в множество A = {2, 4, 6}. Множество задают перечислением элементов или описанием общего признака: например, множеством чётных чисел меньше 8.
Элемент множества — объект, входящий в данное множество. Если число 4 входит в A, записывают 4 ∈ A, а если число 5 не входит — 5 ∉ A. Эти знаки помогают кратко показать результат проверки.
Подмножество — множество, каждый элемент которого является элементом другого множества. Запись A ⊆ B означает, что A является подмножеством B. Такое обозначение нужно, чтобы сравнивать множества не по их названиям, а по составу.
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают символом ∅. Оно используется, когда по заданному условию не найдено ни одного подходящего объекта.
При перечислении множество заключают в фигурные скобки, потому что скобки показывают границы всей совокупности. Элементы разделяют запятыми, чтобы было понятно, где заканчивается описание одного объекта и начинается другое. Например, запись {1, 3, 5} означает одно множество из трёх элементов, а не длинное число 135.
Чтобы проверить принадлежность при перечислении, объект сопоставляют с каждым указанным элементом. Если точное совпадение найдено, ставят знак ∈, а если объект нигде не указан, используют ∉. При задании признаком проверяют уже не список, а соответствие объекта условию: число 8 принадлежит множеству чётных чисел, потому что делится на 2 без остатка.
Для проверки подмножества сравнивают два множества и последовательно рассматривают элементы первого. Каждый из них должен встретиться во втором множестве; порядок записи и повторение элементов при этом не меняют саму идею проверки. Если A = {1, 3}, а B = {1, 2, 3, 4}, то оба элемента A находятся в B, значит, A ⊆ B.
Одного неподходящего элемента достаточно, чтобы опровергнуть утверждение о подмножестве. Такой элемент называют контрпримером: он показывает, что условие «каждый элемент входит» нарушено. Например, для A = {a, b, c} и B = {a, b, d} элемент c является контрпримером, поэтому A не является подмножеством B.
Пустое множество является подмножеством любого множества, потому что в нём нет элементов для проверки. Нельзя найти элемент ∅, который не входил бы в выбранное множество. Поэтому запись ∅ ⊆ A верна для любого A, включая само пустое множество.
| Что сравнивают | Обозначение | Что означает | Пример |
|---|---|---|---|
| Элемент и множество | ∈ | Принадлежность: объект входит в множество | 4 ∈ {2, 4, 6} |
| Элемент и множество | ∉ | Непринадлежность: объект не входит в множество | 5 ∉ {2, 4, 6} |
| Множество и множество | ⊆ | Подмножество: каждый элемент первого множества входит во второе | {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4} |
Сначала определите, что именно сравнивается: отдельный объект или целое множество. Для элемента выбирайте ∈ либо ∉, а для двух множеств — ⊆. Пример в последнем столбце помогает проверить, подходит ли выбранный знак.
Условие: дано множество A = {2, 4, 6}. Определим, верны ли записи 4 ∈ A и 5 ∈ A. Здесь слева от знака стоит число, поэтому проверяем принадлежность элементов.
Ответ: 4 ∈ A — верно; 5 ∈ A — неверно, потому что 5 ∉ A.
Условие: даны A = {1, 3} и B = {1, 2, 3, 4}. Нужно определить, является ли A подмножеством B. Сравниваем не названия множеств, а каждый элемент A с составом B.
Ответ: A ⊆ B, то есть {1, 3} является подмножеством {1, 2, 3, 4}.
Условие: даны A = {a, b, c} и B = {a, b, d}. Нужно проверить, является ли A подмножеством B, и обосновать ответ. Для отрицательного ответа достаточно найти один элемент A, отсутствующий в B.
Ответ: A не является подмножеством B, потому что c ∈ A, но c ∉ B.
Иногда знак ∈ ставят между двумя множествами. Так происходит из-за смешения принадлежности и отношения подмножества, хотя ∈ связывает элемент с множеством, а ⊆ — два множества. Проверьте себя: если слева записано множество, для сравнения нужен знак ⊆.
Другая ошибка — считать подмножеством множество, у которого совпал хотя бы один элемент. Условие требует совпадения каждого элемента первого множества, а не одного из них. Пересчитайте элементы первого множества и найдите для каждого пару во втором.
Число 2 часто путают с множеством {2}. Число является объектом, а фигурные скобки обозначают множество из одного объекта, поэтому 2 ≠ {2}. Помогает вопрос: сравнивается один предмет или набор, содержащий этот предмет?
Некоторые считают, что ∅ не может быть подмножеством, потому что в нём ничего нет. Но отсутствие элементов означает отсутствие нарушителей условия, поэтому ∅ ⊆ A для любого A. Чтобы проверить себя, вспомните: для опровержения нужно найти элемент, а в пустом множестве искать нечего.
До изучения множеств нужно уметь объединять объекты по общему признаку и перечислять их. Это помогает отличать сам набор от отдельных элементов и правильно читать записи в фигурных скобках.
Множества и подмножества используются при классификации объектов и описании числовых множеств. Позже эти понятия помогают понимать логические условия: проверка принадлежности похожа на проверку того, выполняется ли признак.
Чем знак ∈ отличается от знака ⊆?
Знак ∈ связывает один элемент с множеством: 3 ∈ {1, 2, 3}. Знак ⊆ связывает два множества и означает, что каждый элемент первого входит во второе: {1, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
Как понять, является ли одно множество подмножеством другого?
Нужно проверить каждый элемент первого множества и убедиться, что он есть во втором. Если хотя бы один элемент не найден, первое множество не является подмножеством второго.
Может ли множество быть подмножеством самого себя?
Да, любое множество является подмножеством самого себя. Каждый его элемент обязательно входит в это же множество, поэтому условие выполняется.
Почему пустое множество считается подмножеством любого множества?
В пустом множестве нет элементов. Поэтому не существует элемента, который нарушил бы условие «каждый элемент первого множества входит во второе».
Чем число 2 отличается от множества {2}?
Число 2 — это один объект, а {2} — множество, состоящее из одного элемента, числа 2. Поэтому запись 2 ∈ {2} верна, но 2 и {2} не являются одним и тем же объектом.
§ 9. Множество. Подмножество
