§ 34. Представление чисел в компьютере

Определения и обозначения

Двоичное представление числа — запись числа с помощью нулей и единиц, которую компьютер хранит и обрабатывает. Каждый разряд имеет вес, равный степени двойки, поэтому одинаковая последовательность цифр в разных системах счисления означает разные числа. Это нужно, чтобы переводить привычные человеку значения в форму, удобную для электронных схем.

Разрядная сетка — последовательность двоичных разрядов, выделенная для хранения числа. Её длина заранее ограничена, поэтому она определяет, сколько разных значений можно закодировать и каков будет их диапазон. Например, 8 бит позволяют записать 256 различных комбинаций.

Целое число — число без дробной части. При хранении со знаком часть разрядов или особый способ кодирования связываются с положительным либо отрицательным значением. Это понятие нужно, чтобы отличать обычные счётные значения от чисел, которым требуется дробная точность.

Вещественное число — число, которое может иметь дробную часть. Компьютер обычно хранит его приближённо, выделяя разряды для мантиссы, то есть значащей части, и порядка, определяющего масштаб числа. Такое представление позволяет работать и с очень большими, и с очень малыми значениями.

Как это устроено

Компьютер использует биты, потому что электронному устройству легче надёжно различать два состояния, например наличие и отсутствие электрического сигнала. Каждая комбинация нулей и единиц сама по себе является только кодом. Её смысл появляется после выбора системы счисления и правил, по которым разряды связываются с числом.

Целое десятичное число переводят в двоичное разложением по степеням двойки. Разряд справа имеет вес 2⁰, следующий — 2¹, затем 2² и так далее; в каждом разряде ставят 1, если соответствующая степень входит в сумму, и 0, если не входит. Например, 13 = 8 + 4 + 1 = 2³ + 2² + 2⁰, поэтому получается 1101₂.

Положительное и отрицательное целые числа компьютер должен различать по одному и тому же набору битов. Для этого применяют кодирование со знаком; один распространённый вариант — дополнительный код, в котором отрицательные значения получают специальным преобразованием битов. Правило кодирования влияет на диапазон: при 8 битах без знака доступны числа 0…255, а при знаковом представлении обычно −128…127.

Вещественное число удобно разделять на значащую часть и порядок, потому что так один формат может описывать разные масштабы. Мантисса хранит основные цифры числа, а порядок показывает, на какую степень основания нужно умножить эту часть. Например, запись 6,25·10³ содержит значащую часть 6,25 и порядок 3; в компьютере аналогичный принцип применяется в двоичной форме.

Количество разрядов в мантиссе определяет, сколько значащих цифр удастся сохранить, а количество разрядов порядка — насколько большим или малым может быть число. Если точная запись не помещается, ближайшее значение округляется. Если же само число выходит за пределы порядка или целой сетки, возникает нехватка диапазона и возможна ошибка переполнения.

Представление целых и вещественных чисел

Сначала определите, нужен ли числу знак и дробная часть. Затем по строке об ограничениях выясните, может ли возникнуть переполнение или округление. Таблица помогает не путать широкий диапазон вещественного формата с высокой точностью.

Разбор задач

Задача 1. Представить десятичное число 13 в двоичной системе счисления

Нужно подобрать степени двойки, сумма которых равна 13. Берём самые большие подходящие степени и отмечаем использованные разряды. После этого читаем коэффициенты при степенях от большей к меньшей.

1. Наибольшая степень двойки, не превосходящая 13, — 2³ = 8, остаток равен 5.
2. В остатке помещается 2² = 4, после вычитания остаётся 1.
3. Степень 2¹ = 2 не используется, поэтому ставим 0, а 2⁰ = 1 используем и ставим 1.

Получаем 13 = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰. Ответ: 13₁₀ = 1101₂.

Задача 2. Проверить число для 8-битной разрядной сетки

Пусть требуется сохранить число 200, а способ кодирования заранее не указан. Одних восьми битов недостаточно для вывода: диапазон зависит от того, используется ли знак. Поэтому сначала устанавливаем формат, а затем сравниваем число с его границами.

1. Для беззнакового формата доступны 2⁸ = 256 комбинаций, то есть значения от 0 до 255.
2. Число 200 входит в этот диапазон, поэтому оно сохраняется.
3. Для знакового формата с распространённым дополнительным кодом диапазон равен −128…127.
4. Число 200 больше 127, поэтому в таком формате оно не представляется как обычное знаковое значение без переполнения.

Ответ зависит от кодирования: без знака 200 помещается, со знаком — нет. Проверять нужно не только количество битов, но и назначение каждого разряда.

Задача 3. Объяснить неточное хранение дроби 0,1

Нужно выяснить, почему после сохранения компьютер может получить значение, близкое к 0,1, но не равное ему точно. В десятичной системе дробь имеет короткую запись, однако компьютер работает с двоичными разрядами. Поэтому следует проверить, конечна ли её двоичная запись.

1. Двоичная дробь строится из долей ½, ¼, ⅛ и так далее.
2. Для 0,1 последовательное умножение дробной части на 2 не приводит к окончательному нулю: цифры продолжают повторяться.
3. Конечная разрядная сетка сохраняет только первые доступные двоичные разряды.
4. Оставшаяся часть отбрасывается или учитывается при округлении, поэтому записывается ближайшее представимое значение.

Ответ: 0,1 может храниться приближённо, потому что его двоичная запись не заканчивается в пределах конечного формата. При вычислениях маленькая погрешность иногда накапливается и становится заметной.

Типичные ошибки

Ошибка: считать двоичную запись десятичной записью с заменой цифр. Так делают, потому что внешне меняется только набор символов, но на самом деле меняется основание системы и вес каждого разряда. Проверка: разложите запись по степеням двойки и пересчитайте результат.

Ошибка: забывать о конечной длине разрядной сетки. Ученик может думать, что любое целое число просто дополняется новыми нулями, хотя компьютер выделяет фиксированное место. Проверка: найдите минимальное и максимальное значения для данного количества битов и выбранного знакового формата.

Ошибка: полагать, что вещественное число всегда хранится точно. Причина — привычная десятичная запись выглядит короткой, но её двоичный вариант может быть бесконечным. Проверка: спросите, заканчивается ли двоичная дробь и хватает ли разрядов мантиссы.

Ошибка: путать недостаток диапазона с недостатком точности. В первом случае число слишком велико или мало для формата, а во втором оно помещается, но округляется. Проверка: отдельно сравните величину с границами диапазона и отдельно оцените число сохраняемых значащих цифр.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о разрядах числа, позиционной записи и переводе между десятичной и двоичной системами. Без этого трудно понять, почему один и тот же бит имеет разный вес в разных позициях. Эти навыки позволяют самостоятельно проверять двоичные коды.

Представление чисел связано с объёмом памяти: чем больше разрядов выделено, тем больше значений можно закодировать. Оно также используется при изучении кодирования данных и ошибок округления. Размер формата напрямую влияет на возможности вычислений.

Понимание двоичного хранения объясняет, почему результаты операций с дробями иногда отличаются от ожидаемых. Ошибка появляется не из-за случайного сбоя, а из-за конечной точности представления. Поэтому при вычислениях важно учитывать формат чисел.

Что запомнить

• Компьютер хранит числа в виде последовательностей битов.
• Значение двоичной записи определяется степенями двойки.
• Разрядная сетка имеет конечную длину.
• Способ кодирования определяет диапазон целых чисел.
• Вещественные числа часто хранятся приближённо.
• Округление связано с ограниченной точностью представления.