Простые и сложные высказывания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «У квадрата четыре стороны» — высказывание, потому что его можно проверить. Это понятие нужно, чтобы рассуждать о фактах и точно устанавливать, верно ли условие.

Простое высказывание не содержит других высказываний как частей, а сложное высказывание образуется из простых с помощью логических связок. Например, «Число 8 чётное» — простое, а «Число 8 чётное и меньше 10» — сложное. Различать их нужно, чтобы понимать, какие части проверять отдельно и как связка влияет на результат.

Конъюнкция — сложное высказывание со связкой «и», а дизъюнкция — со связкой «или». Конъюнкция истинна, только если истинны обе части; дизъюнкция истинна, если истинна хотя бы одна часть. Эти названия помогают кратко говорить о правилах работы двух распространённых логических связок.

Отрицание — высказывание, образованное добавлением связки «не» к исходному высказыванию. Если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно, и наоборот. Понятие нужно, чтобы выразить противоположное значение и внимательно проверять, какую именно часть сложного выражения отрицают.

Как это устроено

Не каждое предложение является высказыванием: высказывание должно сообщать нечто, что можно проверить на истинность. Вопрос просит сообщить информацию, просьба и команда побуждают к действию, поэтому у них нет значения «истина» или «ложь». Сравните «Открой окно!» и «Окно открыто»: второе предложение сообщает факт, который можно проверить, а первое — побуждение. Поэтому сначала определяют, утверждает ли предложение что-либо, и лишь затем оценивают его истинность.

Чтобы установить истинность простого высказывания, нужно проверить, соответствует ли сказанное действительности или известному правилу. Например, утверждение «Число 8 чётное» истинно, поскольку 8 делится на 2 без остатка. Если в предложении несколько самостоятельных утверждений, соединённых логической связкой, его удобно разделить на части и назвать сложным. Такой разбор нужен потому, что истинность сложного выражения зависит не только от фактов в частях, но и от связки между ними.

Связка «и» задаёт конъюнкцию: она требует, чтобы одновременно выполнялись оба утверждения. Например, фраза «Число 8 чётное и меньше 10» истинна, только если верны и утверждение о чётности, и утверждение о сравнении с 10. Если хотя бы одно из них ложно, всё выражение не описывает ситуацию, в которой выполнены оба условия. Так логическое «и» позволяет объединять требования, которые должны соблюдаться вместе.

Связка «или» задаёт дизъюнкцию: сложное высказывание истинно, когда истинна хотя бы одна его часть. Это включает случай, когда истинны сразу обе части. В повседневной речи «выбери чай или сок» часто подразумевает выбор одного напитка, но логическое «или» не запрещает истинность обоих утверждений. Поэтому при проверке условия нужно пользоваться логическим правилом, а не угадывать бытовой смысл союза.

Отрицание меняет значение высказывания на противоположное: «не A» истинно при ложном A и ложно при истинном A. У сложного выражения важно определить, где заканчивается часть, к которой относится «не». Например, «не (A или B)» означает отрицание всей дизъюнкции, а не отрицание только B; скобки показывают границы выражения. Если скобок нет, смысл тоже нужно читать внимательно, иначе можно проверить не то условие.

Основные логические операции

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала выделите простые части высказывания и установите истинность каждой. Затем найдите связку и примените соответствующее ей правило. Для отрицания проверьте, к какой части или к какому выражению относятся слова «не» и скобки.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли предложение «У квадрата четыре стороны» высказыванием и истинно ли оно. Сначала выясним, можно ли проверить содержание, а затем сравним его с известным свойством квадрата. Так мы отделим грамматическую форму предложения от его логического значения.

1. Предложение сообщает факт, а не задаёт вопрос и не побуждает к действию, поэтому его можно оценить как истинное или ложное.
2. У квадрата действительно четыре стороны, следовательно, сообщённое в предложении соответствует определению квадрата.

Ответ: предложение является высказыванием, и оно истинно.

Задача 2. Для высказываний A: «Число 8 чётное» и B: «Число 8 меньше 10» определите истинность A и B и A или B. Сначала проверим каждое утверждение отдельно, потому что значение сложного высказывания строится из значений его частей. Затем применим правило для «и» и правило для «или».

1. A истинно: 8 делится на 2 без остатка. B тоже истинно: 8 меньше 10.
2. В выражении A и B обе части истинны, поэтому конъюнкция истинна.
3. В выражении A или B достаточно истинности хотя бы одной части; здесь истинны обе, поэтому дизъюнкция также истинна.

Ответ: A истинно, B истинно, A и B истинно, A или B истинно.

Задача 3. Известно, что A истинно, а B ложно. Определите истинность не A, A и B, A или B и не (A или B). В последнем выражении отрицание относится ко всему выражению в скобках, поэтому его нужно оценивать после дизъюнкции. Будем вычислять части последовательно, не пропуская этот порядок.

1. Так как A истинно, не A ложно.
2. A и B ложно: конъюнкция требует истинности обеих частей, а B ложно.
3. A или B истинно, потому что A истинно, хотя B ложно.
4. В скобках получилась истинная дизъюнкция, поэтому не (A или B) ложно.

Ответ: не A — ложно; A и B — ложно; A или B — истинно; не (A или B) — ложно.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вопрос или приказ высказыванием. Их иногда принимают за высказывания, потому что они тоже состоят из слов и имеют законченную форму, но они не сообщают факт с истинностным значением. Проверьте себя: можно ли ответить на предложение только «истинно» или «ложно», не отвечая на вопрос и не выполняя команду? Если нет, перед вами не высказывание.

Ошибка — считать конъюнкцию истинной, если истинна только одна часть. Это происходит, когда правило «и» смешивают с правилом «или». Для проверки перечислите части: выражение с «и» истинно лишь тогда, когда каждая часть истинна. Если хотя бы одна часть ложна, вся конъюнкция ложна.

Ошибка — понимать логическое «или» только как выбор одного варианта. В разговоре союз часто означает взаимоисключающий выбор, поэтому такое бытовое значение легко перенести в задачу. Проверьте, задан ли запрет на одновременную истинность частей: если его нет, дизъюнкция истинна и при истинности обеих частей. Логическое правило требует лишь одной истинной части или более.

Ошибка — отрицать только отдельное слово или часть сложного высказывания, хотя «не» относится ко всему выражению. Её допускают, если при чтении не замечают скобки или границы частей. Найдите, что именно стоит после отрицания и заключено ли оно в скобки. Затем сначала оцените это выражение, а уже после поменяйте его значение на противоположное.

Связь с другими темами

Для работы с высказываниями полезно уметь различать повествовательные предложения, вопросы и побудительные предложения: это помогает понять, что вообще можно оценивать как истинное или ложное. Логические связки применяют при составлении алгоритмов, когда выполнение команды зависит от условия. Проверка истинности помогает понять, выполнится ли такое условие. Те же приёмы пригодятся при изучении логических выражений и их записи.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Простое высказывание не содержит других высказываний как частей.
• Сложные высказывания образуются с помощью логических связок.
• Конъюнкция истинна, только если истинны обе части.
• Дизъюнкция истинна, если истинна хотя бы одна часть.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.