§ 11. Логические выражения

Определения и обозначения

Логическое выражение — выражение, результатом которого является одно из двух значений: истина или ложь. Например, 7 > 3 — логическое выражение, потому что сравнение можно однозначно оценить. Такие выражения нужны для проверки условий в алгоритмах и программах.

Логическая переменная — переменная, принимающая только значения «истина» и «ложь». Её значение показывает, выполнено ли некоторое условие. Например, переменная готово может быть истинной после завершения работы программы и ложной до этого.

Логическая операция — действие над логическими значениями или выражениями. К основным операциям относятся отрицание НЕ, конъюнкция И и дизъюнкция ИЛИ. С их помощью несколько простых условий объединяют в одно составное выражение.

Таблица истинности — таблица, показывающая результат логического выражения для всех наборов значений входящих в него переменных. Она позволяет не угадывать ответ, а последовательно проверить каждый вариант. Особенно полезна таблица при разборе длинных выражений с несколькими операциями.

Как это устроено

Сравнение чисел превращается в логическое выражение, потому что его результат можно выразить только двумя способами. Например, 5 < 9 истинно, а 5 > 9 ложно; сами числа при этом не становятся результатом сравнения. Такой результат удобно передавать следующей операции или использовать как условие команды.

Операция НЕ меняет значение выражения на противоположное: НЕ истина даёт ложь, а НЕ ложь — истину. Это нужно, когда требуется проверить невыполнение условия, например НЕ (дверь открыта). Скобки показывают, какое именно выражение отрицается, поэтому они помогают не изменить смысл случайно.

Операция И объединяет условия, которые должны выполниться одновременно. Выражение A И B истинно только тогда, когда истинны и A, и B; при ложности хотя бы одного условия весь результат ложен. Например, доступ разрешён, если пользователь ввёл правильный пароль И подтвердил действие.

Операция ИЛИ подходит, когда достаточно выполнения хотя бы одного условия. Выражение A ИЛИ B ложно только в случае, когда оба условия ложны; если истинны оба, результат также истинен. Например, сообщение можно показать, если нажата кнопка ИЛИ сработал таймер.

Составное выражение строится из логических переменных, сравнений и операций, поэтому его удобно вычислять по частям. Сначала находят значения простых сравнений, затем объединяют их по операциям и получают общий результат. Таблица истинности систематизирует этот процесс и показывает ответ для каждого возможного набора входных значений.

Скобки выполняются раньше остальных действий и явно задают, какую часть нужно вычислить первой. Если скобок нет, применяют приоритет операций: обычно сначала выполняют НЕ, затем И, затем ИЛИ. При сомнении выражение лучше дополнить скобками, чтобы порядок был виден и человеку, и программе.

Основные логические операции

В первых двух столбцах перебраны все четыре набора значений двух переменных. Затем для каждой строки отдельно вычисляют НЕ A, A И B и A ИЛИ B. По строке можно быстро проверить нужную комбинацию, а по столбцу — увидеть все результаты одной операции.

Разбор задач

Задача 1. Определить, истинно ли выражение 7 > 3.

Нужно выполнить сравнение двух чисел и заменить его логическим значением. Сравниваем левую часть с правой: число 7 действительно больше 3. Поэтому результатом будет значение «истина».

1. Рассматриваем знак >: он означает «больше».
2. Проверяем, выполняется ли условие 7 > 3.
3. Так как условие выполняется, записываем логический результат.

Ответ: выражение истинно.

Задача 2. Определить значение выражения (5 < 2) ИЛИ (8 = 8).

Сначала вычисляем два сравнения в скобках, не применяя ИЛИ к исходным числам. Условие 5 < 2 ложно, а условие 8 = 8 истинно. После этого остаётся выражение Ложь ИЛИ Истина.

1. Находим значение 5 < 2: это ложь.
2. Находим значение 8 = 8: это истина.
3. По правилу ИЛИ определяем результат: достаточно одного истинного условия.

Ответ: выражение истинно.

Задача 3. Определить значение выражения НЕ (x > 4 ИЛИ x < 1) при x = 3.

Значение переменной нужно подставить до выполнения логических операций. При x = 3 условие x > 4 ложно, а условие x < 1 тоже ложно; их объединение через ИЛИ ложно. Внешнее НЕ меняет этот результат на противоположный.

1. Подставляем x = 3: получаем (3 > 4 ИЛИ 3 < 1).
2. Вычисляем сравнения: Ложь ИЛИ Ложь даёт ложь.
3. Применяем НЕ ко всему выражению в скобках: НЕ ложь даёт истину.

Ответ: выражение истинно.

Типичные ошибки

Иногда считают, что ИЛИ истинно только при истинности ровно одного условия. Так происходит из-за привычного бытового смысла слова «или», но в логике оно включает и случай, когда истинны оба условия. Проверьте себя по таблице: строка «Истина; Истина» в столбце A ИЛИ B содержит значение «Истина».

Другая ошибка — игнорировать скобки и порядок операций. Из-за этого одинаковые части выражения могут быть объединены не так, как задумано. Сначала расставьте скобки или выпишите промежуточные результаты, а затем выполняйте действия по приоритету.

Отрицание иногда ошибочно заменяют противоположным знаком сравнения, не выяснив область действия НЕ. Например, НЕ (A ИЛИ B) отрицает всё выражение, а не только A. Чтобы проверить себя, выделите скобками часть после НЕ и только потом поменяйте её значение.

При составлении таблицы истинности могут пропускаться наборы или появляться дубликаты. Для двух переменных должно быть ровно четыре комбинации: Истина–Истина, Истина–Ложь, Ложь–Истина и Ложь–Ложь. Перечитайте первые столбцы перед вычислением итогов.

Связь с другими темами

До изучения логических выражений нужно уметь сравнивать числа и понимать смысл условий. Сравнение даёт исходное логическое значение, с которым затем работают операции НЕ, И и ИЛИ. Без этого трудно правильно разобрать даже короткое составное выражение.

В алгоритмах и программах логические выражения записывают в условиях ветвления и циклов. По результату условия программа выбирает действие или решает, нужно ли повторять команды. Поэтому умение вычислять такие выражения помогает составлять работающие алгоритмы.

Что запомнить

• Логическое выражение принимает значение «истина» или «ложь».
• НЕ меняет логическое значение на противоположное.
• Выражение A И B истинно, только если истинны оба выражения.
• Выражение A ИЛИ B истинно, если истинно хотя бы одно из выражений.
• Скобки задают порядок вычисления логического выражения.
• Таблица истинности показывает результат для всех наборов входных значений.