§ 9. Логические элементы

Определения и обозначения

Логический элемент — электронное устройство, которое выполняет логическую операцию над входными сигналами и выдаёт выходной сигнал. Например, элемент может проверить, одновременно ли истинны два условия. Такие устройства служат строительными блоками цифровых схем.

Входной сигнал — значение 0 или 1, поступающее на логический элемент; оно соответствует ложному или истинному значению. В схемах эти обозначения связывают с двумя различимыми состояниями электрического сигнала. Это позволяет элементу однозначно обрабатывать информацию, не различая множество промежуточных уровней.

Элемент И — логический элемент, выдающий 1 только тогда, когда все его входы равны 1. Он соответствует логической операции И, или конъюнкции: результат истинен, только если истинны все условия. Такой элемент нужен, когда для действия должны одновременно выполниться несколько требований.

Элемент ИЛИ — логический элемент, выдающий 1, если хотя бы один его вход равен 1. Он выполняет дизъюнкцию: достаточно истинности одного условия, хотя могут быть истинными и оба. Это правило помогает объединить несколько вариантов, каждый из которых может привести к результату.

Как это устроено

В цифровой схеме электрический сигнал условно представляют значением 0 или 1. Элементу достаточно различать два состояния, потому что логические операции отвечают на вопрос, истинно ли условие, а не измеряют точную величину сигнала. Такое представление упрощает обработку: при любом наборе входных значений правило элемента даёт определённый результат.

Элемент И реализует конъюнкцию. Чтобы выход стал равен 1, единица должна поступить на каждый вход; если хотя бы один вход равен 0, условие «все входы равны 1» не выполнено. Поэтому для двух входов только набор 11 даёт выход 1, а наборы 00, 01 и 10 дают 0. Это напрямую следует из смысла слова «и»: нужны оба условия одновременно.

Элемент ИЛИ реализует дизъюнкцию. Его выход равен 1, когда единица есть хотя бы на одном входе, поэтому для двух входов результат будет 1 на наборах 01, 10 и 11. Только набор 00 приводит к нулю: ни одно из условий не выполняется. Именно поэтому ИЛИ подходит для выбора между несколькими возможными основаниями результата.

Инвертор выполняет отрицание, или операцию НЕ. Он меняет значение входа на противоположное: ноль становится единицей, а единица — нулём. Такое преобразование нужно, когда требуется учесть, что условие не выполнено; например, НЕ A истинно именно при A = 0.

Несколько элементов можно соединить так, чтобы выход одного стал входом другого. Чтобы найти общий выход, сначала вычисляют значения на тех элементах, к которым непосредственно подключены исходные входы, а затем используют полученные сигналы на следующих этапах. Такой порядок сохраняет смысл операций и не позволяет перепутать промежуточные результаты. Если перебрать все наборы исходных входов и записать соответствующие выходы, получится таблица истинности всей схемы.

Логические элементы и выполняемые ими операции

Чтобы пользоваться таблицей, найдите нужный элемент и сопоставьте значения его входов с подходящим набором. Затем прочитайте выход справа от этого набора. Для НЕ вход один, поэтому достаточно проверить два возможных значения.

Разбор задач

Задача 1. Для элемента И определите выход при входах A = 1 и B = 0. Здесь нужно не складывать значения, а проверить условие работы элемента: все ли входы равны единице. Решение по шагам:

1. Записываем значения: A = 1, B = 0.
2. Проверяем оба входа: A равен 1, но B равен 0, поэтому единицы есть не на всех входах.
3. По правилу И выход при таком наборе равен 0.

Ответ: выход равен 0. Один нулевой вход уже означает, что условие для элемента И не выполнено.

Задача 2. Заполните таблицу истинности схемы F = (A И B) ИЛИ НЕ C. В схеме выходы И и НЕ поступают на ИЛИ, поэтому нельзя вычислять всё выражение одним шагом. Сначала найдём результаты промежуточных операций, а затем объединим их:

1. Для каждого набора A, B, C вычисляем X = A И B.
2. Отдельно находим Y = НЕ C, меняя значение C на противоположное.
3. Вычисляем F = X ИЛИ Y: выход равен 1, если X или Y равен 1.

При наборах A B C: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 значения X равны 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1; значения Y — 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0. Следовательно, значения F равны 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1. Ответ: таблица заполнена в указанном порядке наборов; промежуточные столбцы помогают проверить каждый результат.

Задача 3. Постройте схему, которая выдаёт 1, когда выполнено условие «A и B истинны или C истинно», и найдите выход при A = 1, B = 0, C = 1. Слово «и» задаёт одну операцию, а «или» объединяет её результат с условием C. Решение по шагам:

1. Записываем выражение: F = (A И B) ИЛИ C.
2. Подаём A и B на элемент И; его выход X равен 1 только при двух единицах. При данных значениях X = 1 И 0 = 0.
3. Подаём X и C на элемент ИЛИ. Получаем F = 0 ИЛИ 1 = 1.

Ответ: схема состоит из элемента И для A и B, выход которого соединён с одним входом ИЛИ; на второй вход ИЛИ поступает C. При указанных значениях выход схемы равен 1.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что элемент И выдаёт 1, если единица есть хотя бы на одном входе. Так путают его с ИЛИ, потому что в обоих названиях есть союз «и» или «или», а условия легко смешать. Проверка простая: для И подставьте набор 10 — выход должен быть 0, поскольку не все входы равны 1.

Вторая ошибка — воспринимать 0 и 1 как числовые результаты арифметических вычислений. Обычно это происходит из-за привычки считать числами, но в логической схеме они обозначают ложь и истину. Чтобы проверить себя, сформулируйте условие словами: выясните, истинно ли оно, а не складывайте входы.

Третья ошибка — сразу пытаться назвать выход составной схемы и пропускать промежуточные сигналы. При этом легко забыть, какой элемент обрабатывает результат первым, или перепутать его входы. Запишите для каждого элемента отдельное значение и двигайтесь от исходных входов к выходу схемы.

Четвёртая ошибка — думать, что НЕ меняет значение только при некоторых входах или действует как И и ИЛИ. Инвертор всегда заменяет вход противоположным значением, поэтому сомнения снимает проверка обоих вариантов: НЕ 0 = 1, НЕ 1 = 0. Если после применения НЕ значение не изменилось, операция выполнена неверно.

Связь с другими темами

Для работы с логическими элементами нужно знать значения 0 и 1, логические переменные и операции НЕ, И, ИЛИ. Также пригодится умение читать таблицы истинности: по набору входов в них находят выход, а при переборе всех наборов проверяют работу схемы целиком. Эти знания связывают логические выражения с их электронным исполнением.

Логические элементы нужны для понимания цифровых схем и принципов работы компьютера. В сложной схеме соединённые элементы обрабатывают сигналы по тем же простым правилам, что изучаются отдельно. Поэтому, освоив базовые операции и порядок вычислений, легче проследить, как устройство принимает решение по входным данным.

Что запомнить

• Логический элемент выполняет операцию над сигналами 0 и 1.
• Элемент И выдаёт 1, только если все его входы равны 1.
• Элемент ИЛИ выдаёт 1, если хотя бы один вход равен 1.
• Инвертор меняет 0 на 1, а 1 на 0.
• Выход составной схемы находят, вычисляя сигналы на её элементах по порядку.
• Таблица истинности показывает выход для каждого набора входных значений.