"Информатика", Рудченко Т.А., Семёнов А.Л. / Под ред. Семёнова А.Л.
Множество — это несколько объектов, объединённых общим признаком: например, все бусины одного цвета или бусины, из которых собрана гирлянда. Чтобы правильно работать с множеством, сначала выбирают признак, а затем определяют, какие объекты ему соответствуют. Элементы записывают в фигурных скобках; их порядок и повторение не меняют состав множества. Сравнивая состав, можно понять, равны ли множества и является ли одно подмножеством другого.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, рассматриваемых вместе по общему признаку. Например, бусины одного цвета можно объединить в множество красных бусин. Общее основание помогает решить, какие объекты включать, а какие оставить за его пределами.
Элемент множества — отдельный объект, входящий в данное множество. Если рассматривается набор бусин, каждая подходящая бусина может быть его элементом. Это понятие позволяет говорить о составе набора не в целом, а об отдельных объектах.
Принадлежность множеству — отношение, показывающее, входит ли объект в множество. Например, синяя бусина принадлежит множеству синих бусин, а красная — нет. Проверка принадлежности помогает отбирать нужные объекты по заданному признаку.
Подмножество — множество, каждый элемент которого входит в другое множество. Например, множество красных бусин в гирлянде является подмножеством множества всех бусин этой гирлянды. Понятие нужно, чтобы сравнивать наборы и выяснять, полностью ли один содержится в другом.
Представим, что у нас есть отдельные бусины. Чтобы объединить их в множество, сначала нужно решить, по какому признаку мы их выбираем: по цвету, форме или принадлежности одной гирлянде. Тогда один и тот же предмет может входить в одно множество и не входить в другое. Например, красная бусина входит в набор красных бусин, но не входит в набор синих. Без заранее заданного признака нельзя надёжно определить состав множества.
Когда состав определён, элементы удобно записывать внутри фигурных скобок: {красная, синяя, зелёная}. Скобки показывают, что перечислено именно множество, а не просто отдельные названия. Порядок можно менять, потому что он не является признаком, по которому выбирали бусины. Записи {красная, синяя} и {синяя, красная} указывают на один состав и поэтому задают одно множество.
Нужно различать отдельную бусину и набор, в который она входит. Бусина — объект, а множество — совокупность объектов, выбранных по общему условию. Например, красная бусина может быть элементом множества бусин, надетых на нить. Такая разница помогает не путать название предмета с названием всего набора и правильно проверять принадлежность.
В описании множества один и тот же элемент учитывают только один раз. Если бусина уже перечислена, её повторная запись не добавит к составу нового элемента. Поэтому {красная, синяя, красная} и {красная, синяя} задают одинаковое множество. При подсчёте сначала убирают повторы, иначе число элементов получится завышенным.
Чтобы сравнить два множества, проверяют их состав. Объект принадлежит множеству, если он входит в его состав; два множества равны, если в них входят одни и те же элементы. Первое множество является подмножеством второго, когда каждый его элемент есть и во втором. Поэтому для проверки подмножества нужно рассмотреть все элементы меньшего набора, а не только некоторые из них.
| Понятие | Пример с бусинами | Как записывается или определяется |
|---|---|---|
| Множество | Все бусины гирлянды | Объекты объединяют по общему признаку |
| Элемент множества | Одна синяя бусина в гирлянде | Отдельный объект, входящий в состав |
| Принадлежность множеству | Красная бусина входит в набор красных бусин | Проверяют, соответствует ли объект признаку |
| Пустое множество | Бусины, которые одновременно красные и синие | Множество без элементов; обозначают ∅ |
| Подмножество | Красные бусины среди всех бусин гирлянды | Каждый элемент одного множества входит в другое |
| Равные множества | Два списка, в которых указаны те же бусины | Составы совпадают, порядок записи не важен |
Пользуясь таблицей, сначала определите признак, по которому собраны бусины, а затем установите состав множества. Для сравнения двух наборов проверяйте элементы, а не порядок их записи. Если подходящих объектов нет, получается пустое множество.
Даны красная, синяя и зелёная бусины. Нужно записать множество всех данных бусин и назвать его элементы. Здесь признаком объединения будет принадлежность к данному набору из трёх бусин. Повторы не нужны, потому что каждая из названных бусин перечисляется один раз.
Ответ: {красная бусина, синяя бусина, зелёная бусина}. Элементы множества — красная, синяя и зелёная бусины.
В коробке лежат красная, синяя, красная и зелёная бусины. Определите, какие из них принадлежат множеству красных бусин, и укажите количество элементов этого множества. Нужно договориться, что элементы различаются по цвету, а повторно названный цвет не добавляет нового элемента. Такая договорённость позволяет правильно применить правило о повторах.
Ответ: множеству красных бусин принадлежит красная бусина; в записанном множестве один элемент. Если по условию требуется считать реальные предметы, а не виды бусин, две отдельные красные бусины следует различать, например, по номерам.
Даны множества A = {красная, синяя} и B = {красная, синяя, зелёная}. Нужно определить, является ли A подмножеством B и равны ли эти множества. Важно проверить каждую бусину из A и отдельно выяснить, совпадают ли составы целиком. Сам факт, что у двух наборов есть общие элементы, ещё не означает их равенства.
Ответ: A является подмножеством B, но A и B не равны. Проверка всех элементов A доказывает подмножество, а найденная в B лишняя для A бусина показывает неравенство множеств.
Некоторые считают одинаковые элементы несколько раз, потому что видят в условии несколько одинаковых бусин. Но множество учитывает состав, а повторное перечисление того же элемента его не меняет. Чтобы проверить себя, уберите из записи повторы и пересчитайте оставшиеся элементы. Если речь идёт о разных физических предметах, уточните, различаются ли они в условии.
Другая ошибка — путать элемент и множество, например называть отдельную бусину множеством всех бусин. Такое смешение возникает, когда не различают один объект и набор объектов. Проверьте формулировку: если речь об одной бусине, это элемент; если о совокупности по признаку — множество. Один элемент может входить в состав множества.
Иногда считают, что перемена порядка элементов меняет множество. Это происходит из-за привычки воспринимать список как последовательность, где важна очередность. Сравните не позиции, а сами элементы: {красная, синяя} и {синяя, красная} содержат одно и то же. Если состав совпал, множества равны.
Называть множество подмножеством другого, не проверив каждый элемент, тоже неверно. Несколько общих бусин ещё не доказывают, что весь меньший набор содержится в большем. Проверьте по очереди каждый элемент предполагаемого подмножества. Если хотя бы одного из них нет в другом множестве, условие не выполнено.
Для работы с множествами нужно уметь распознавать объект и его признак, а также записывать перечисление. Эти умения помогают точно описывать, что именно объединяет набор и какие предметы в него входят. Они пригодятся при сортировке и классификации объектов.
Множества связаны с таблицами и базами данных: в них объекты группируют по выбранным свойствам и проверяют, какие записи подходят условию. Поиск по цвету бусины похож на отбор строк по значению поля. Чем точнее выбран признак, тем надёжнее результат отбора.
Понятия множеств применяются также в логике и алгоритмах поиска. Алгоритм может проверять, входит ли объект в набор, и сравнивать несколько наборов данных. Поэтому правила о принадлежности, повторениях и подмножествах полезны не только при работе с бусинами, но и при решении задач на компьютере.
Можно ли считать две одинаковые бусины двумя элементами одного множества?
Если бусины одинаковы по выбранному признаку и обозначают один и тот же элемент, в множестве этот элемент записывают один раз. Например, запись {красная бусина, красная бусина} не содержит двух разных элементов. Если же бусины различаются и учитываются как отдельные объекты, это нужно явно обозначить.
Почему порядок элементов в записи множества не имеет значения?
Множество описывает, какие элементы в него входят, а не порядок их перечисления. Поэтому {красная, синяя} и {синяя, красная} — одно и то же множество. Порядок может быть удобен для записи, но не меняет состав.
Чем элемент отличается от множества?
Элемент — один объект, а множество — совокупность объектов, выбранных по общему признаку. Например, одна синяя бусина может быть элементом множества всех бусин гирлянды. Само множество может содержать много бусин или не содержать ни одной.
Как понять, является ли одно множество подмножеством другого?
Проверьте каждый элемент первого множества: он должен входить во второе. Если все элементы входят, первое множество — подмножество второго. Если хотя бы один элемент не входит, это не так.
Может ли пустое множество быть подмножеством любого множества?
Да. Пустое множество не содержит элементов, которые могли бы не входить в другое множество, поэтому условие подмножества выполняется. Это верно и для множества, в котором есть много элементов.
Если бусина не одна
