Раньше-позже. Если бусина не одна

Определения и обозначения

Последовательность — упорядоченный ряд объектов, в котором для каждого объекта важно его место. Например, цепочка бусин образует последовательность, потому что бусины лежат одна за другой. Это понятие нужно, чтобы обсуждать не только свойства объектов, но и их порядок.

Позиция элемента — место объекта в последовательности, обычно обозначаемое номером слева направо. Первой бусине присваивают номер 1, следующей — номер 2 и так далее. Номера помогают точно сравнивать элементы, даже если они выглядят одинаково.

Отношение «раньше—позже» показывает, как расположены два элемента относительно друг друга. Если номер позиции одной бусины меньше номера другой, первая бусина раньше второй. Такое сравнение нужно для описания порядка без неоднозначных слов «ближе» или «дальше».

Повторяющийся элемент — объект того же вида, который встречается в последовательности несколько раз. Каждое его вхождение занимает свою позицию, поэтому две синие бусины нельзя автоматически считать одной. Это позволяет правильно решать задачи, где одинаковые элементы нужно сравнить с другими.

Как это устроено

Порядок бусин возникает из их расположения в цепочке и выбранного направления просмотра. Пока мы идём, например, слева направо, каждая следующая бусина считается более поздней. Если направление не задано, слова «раньше» и «позже» могут быть поняты по-разному, поэтому его выбирают до сравнения.

Чтобы определить, какая бусина раньше, нужно сравнить позиции двух бусин, а не только их цвет или форму. Цвет сообщает признак бусины, но не говорит, где она находится. Например, красная бусина может стоять как раньше, так и позже синей, поэтому ответ находят по номерам мест.

Одинаковые бусины нельзя считать одной: каждое их вхождение рассматривается отдельно и имеет собственное место. Если синяя бусина встречается дважды, удобно называть их первой и второй синей бусиной. Такое обозначение сохраняет различие между видом элемента и конкретным местом, которое он занимает.

Если одна бусина раньше второй, а вторая раньше третьей, то первая раньше третьей. Причина в том, что движение по последовательности не может вернуться назад: после первой позиции нужно пройти через вторую, а затем достигнуть третьей. Поэтому часть выводов можно сделать по цепочке отношений, не сравнивая первую и третью бусины непосредственно.

При изменении направления просмотра отношения «раньше» и «позже» меняются местами. Бусина, стоящая левее другой, раньше неё при просмотре слева направо, но позже при просмотре справа налево. Именно поэтому в записи решения полезно явно указать направление и не смешивать две нумерации.

Как сравнивать элементы в последовательности

Сначала выберите направление просмотра и пронумеруйте позиции. Затем сравните номера нужных элементов, отдельно различая одинаковые бусины. Таблица помогает связать словесное условие с конкретным способом проверки.

Разбор задач

Задача 1. В цепочке идут красная, синяя, зелёная, синяя и жёлтая бусины. Нужно определить, какая синяя бусина раньше жёлтой и какая позже зелёной. Одинаковый цвет не означает одинаковое место, поэтому сначала выделим оба вхождения синей бусины.

1. Пронумеруем цепочку слева направо: 1 — красная, 2 — первая синяя, 3 — зелёная, 4 — вторая синяя, 5 — жёлтая.
2. Сравним позиции с жёлтой бусиной: позиции 2 и 4 меньше позиции 5, значит, обе синие бусины раньше жёлтой.
3. Сравним с зелёной бусиной на позиции 3: первая синяя стоит раньше неё, а вторая синяя — позже.

Ответ: жёлтой бусины раньше стоят обе синие; позже зелёной стоит вторая синяя бусина.

Задача 2. Известно: белая бусина раньше чёрной, а чёрная раньше красной. Требуется узнать, какая бусина раньше красной. Здесь не даны номера, но сами отношения образуют последовательную цепочку.

1. Запишем условия кратко: белая → чёрная → красная.
2. Из первой стрелки следует, что белая находится до чёрной, а из второй — что чёрная находится до красной.
3. При движении по цепочке белая оказывается до красной, даже если их не сравнивали напрямую.

Ответ: белая бусина раньше красной. Это вывод по цепочке отношений.

Задача 3. Жёлтая бусина раньше зелёной, зелёная раньше синей, красная позже жёлтой, но раньше синей. Нужно восстановить возможный порядок. Сначала объединим строгие условия, а затем вставим красную бусину в подходящее место.

1. Из первых двух условий получаем цепочку: жёлтая → зелёная → синяя.
2. Красная должна стоять после жёлтой и до синей, поэтому её можно поставить между жёлтой и зелёной либо между зелёной и синей.
3. Один из подходящих вариантов: жёлтая, красная, зелёная, синяя. Проверяем его: жёлтая раньше зелёной, зелёная раньше синей, красная позже жёлтой и раньше синей.

Ответ: возможный порядок — жёлтая, красная, зелёная, синяя. Условие допускает и другой вариант: жёлтая, зелёная, красная, синяя.

Типичные ошибки

Считать одинаковые бусины одной бусиной. Так делают, потому что видят общий цвет и не замечают разные места. Проверьте себя: пронумеруйте каждое вхождение отдельно и спросите, можно ли указать его позицию.

Определять «раньше» по цвету или размеру. Признак объекта не задаёт его положение, поэтому такой способ не работает. Проверьте себя сравнением номеров: ответ должен изменяться при перестановке бусин, даже если их цвета сохраняются.

Забывать указать направление просмотра. Без него одна и та же цепочка допускает два противоположных описания порядка. Проверьте себя: подпишите, откуда начинаете счёт, и убедитесь, что все отношения относятся к этому направлению.

Делать вывод по одному косвенному признаку. Отдельное условие может быть совместимо с несколькими расположениями или с другими условиями не совпадать. Проверьте себя: выпишите всю цепочку ограничений и подставьте полученный порядок в каждое из них.

Связь с другими темами

• До этой темы нужно уметь выделять элементы последовательности, различать их признаки и считать позиции. Эти навыки позволяют не путать название объекта с его конкретным местом.
• Понимание порядка подготавливает к записи алгоритмов, работе со списками и упорядочиванию объектов. В алгоритме действия также выполняются в определённой последовательности.
• Порядок нужен в расписаниях, при сортировке данных и проверке последовательности действий. Если нарушить его, результат может измениться или задача окажется невыполнимой.

Что запомнить

• Последовательность — это объекты, расположенные в определённом порядке.
• «Раньше» и «позже» определяются позицией элемента.
• У каждой бусины есть собственное место, даже если она похожа на другую.
• Соседние элементы разделяет ровно одна позиция.
• Если первый элемент раньше второго, а второй раньше третьего, первый раньше третьего.
• Направление просмотра последовательности должно быть задано заранее.