Игра сим

Определения и обозначения

Игра Сим — парная игра на поле из шести точек, где участники по очереди окрашивают свободные отрезки в свои цвета и стараются не образовать одноцветный треугольник. Тот, чей ход завершил такой треугольник, проигрывает. Это правило превращает каждый выбор ребра в задачу на планирование: нужно думать и о ближайшем ходе, и о возможных продолжениях.

Вершина — точка игрового поля; в начале игры шесть вершин соединены отрезками. Их обозначают, например, буквами A, B, C, D, E и F, чтобы было удобно называть нужные точки. По вершинам можно описать, какие именно рёбра образуют треугольник или участвуют в выбранном ходе.

Ребро — отрезок между двумя вершинами, который в ходе игры окрашивает один из игроков. Например, ребро AB соединяет вершины A и B. Всего на поле 15 рёбер, и каждое можно окрасить только один раз; без понятия ребра невозможно точно описать ход или проверить его последствия.

Одноцветный треугольник — три ребра между тремя вершинами, окрашенные в один цвет. Если, например, рёбра AB, BC и AC красные, красный игрок образовал проигрышный треугольник. Проверять нужно все три стороны: двух рёбер одного цвета для проигрыша недостаточно.

Как это устроено

Чтобы подготовить поле, расположите шесть вершин и соедините каждую пару. Такой рисунок называют полным графом K₆: граф — это набор точек и соединяющих их рёбер, а слово «полный» означает, что ни одна пара точек не оставлена без ребра. Всего получается 6 · 5 ÷ 2 = 15 рёбер: каждое соединение пары иначе было бы посчитано дважды. Поэтому нельзя считать рёбра только по соседству на рисунке: положение точек не отменяет соединения между ними.

Ход состоит в том, что игрок выбирает одно неокрашенное ребро и окрашивает его в свой цвет. Перекрашивать чужое или своё ребро нельзя, потому что цвет уже сделанного хода остаётся частью позиции. Пропускать ход тоже нельзя: иначе игрок мог бы менять очередность и затягивать партию по своему желанию. После каждого хода свободных рёбер становится на одно меньше.

Цель — избежать собственного одноцветного треугольника, потому что именно его создание объявлено проигрышем. Треугольник с рёбрами разных цветов сам по себе не завершает партию: важно, чтобы все три стороны совпали по цвету. Поэтому перед окрашиванием ребра нужно посмотреть, не соединит ли оно концы двух уже окрашенных рёбер своего цвета. Соперник тоже может оказаться близко к проигрышу, но игрок не должен забывать проверять последствия собственного хода.

Закончить партию, раскрасив все рёбра без проигравшего, невозможно. Рассмотрим одну вершину: из неё выходят пять рёбер, и по принципу большинства не менее трёх из них имеют один цвет. Пусть они ведут к вершинам A, B и C. Если хотя бы одно ребро между A, B и C имеет этот же цвет, вместе с двумя выбранными рёбрами оно образует одноцветный треугольник; если ни одно не имеет, все три окрашены в другой цвет и тоже образуют такой треугольник.

Выбирая ход, оценивайте не только то, завершает ли он треугольник прямо сейчас. Подумайте, какие свободные рёбра останутся сопернику и сможет ли он одним из них завершить треугольник своего цвета. Например, ребро может быть безопасным для вас, но оставить сопернику удобную возможность создать проигрышную ситуацию для вас позднее. Такой просмотр вариантов помогает не выбирать ход только по внешнему виду рисунка.

Устройство игры Сим

Таблица помогает быстро проверить состав поля и основные правила перед партией. При разборе хода сначала найдите в ней, что можно окрашивать, а затем проверьте условие проигрыша. Если в рисунке возник треугольник, сравните цвета всех его трёх рёбер.

Разбор задач

Задача 1. На поле из шести вершин игрок закрасил красным два ребра, сходящиеся в одной вершине. Может ли его следующий красный ход сразу проиграть? Объясним, какие рёбра могут завершить треугольник. Сам факт, что два красных ребра сходятся, ещё не означает проигрыш: нужна третья сторона.

1. Обозначим общую вершину через A, а две другие — B и C; уже окрашены AB и AC.
2. Чтобы появился треугольник ABC, требуется третье ребро BC.
3. Если BC свободно и игрок окрасит его красным, все три стороны станут красными.

Ответ: да, может, если его ход окрашивает ребро между двумя другими концами красных рёбер в красный цвет. Тогда ход замыкает треугольник ABC, и красный игрок проигрывает. Если такого хода нет или ребро уже окрашено иначе, этот треугольник завершить нельзя.

Задача 2. Три вершины A, B и C соединены рёбрами AB и BC, окрашенными красным. Какой ход на ребре AC приведёт к проигрышу красного игрока? Здесь важно рассмотреть только эти три вершины и проверить, чего не хватает до треугольника. Другие вершины поля для ответа не нужны.

1. У треугольника ABC три стороны: AB, BC и AC.
2. Первые две стороны уже красные, а ребро AC пока не задано.
3. Если красный игрок окрасит AC красным, все три стороны окажутся одного цвета.

Ответ: красный игрок проиграет, если окрасит ребро AC в красный цвет. Оно станет последней стороной одноцветного треугольника ABC. Если же AC окрашено в цвет соперника, красного треугольника из этих трёх вершин не получится.

Задача 3. Игрок выбирает ребро на поле K₆. Соперник утверждает, что при полной раскраске можно избежать одноцветных треугольников. Проверим утверждение для любой раскраски, не подбирая конкретное расположение рёбер. Достаточно выбрать одну вершину и рассмотреть пять рёбер, выходящих из неё.

1. Среди пяти рёбер не менее трёх имеют один цвет; пусть они ведут к A, B и C.
2. Если одно из рёбер AB, BC или AC имеет тот же цвет, оно вместе с двумя рёбрами от выбранной вершины образует треугольник этого цвета.
3. Если все три ребра между A, B и C другого цвета, они сами образуют одноцветный треугольник.

Ответ: утверждение соперника неверно. При полной раскраске K₆ двумя цветами одноцветный треугольник обязательно найдётся, поэтому партия не может завершиться без проигрыша. Рассуждение охватывает оба возможных случая: среди трёх внутренних рёбер есть ребро первого цвета или все они другого цвета.

Типичные ошибки

Считать проигрышем любой треугольник — ошибка: проигрышным является только треугольник, у которого все три ребра окрашены в цвет одного игрока. Её допускают, если смотрят лишь на форму рисунка, а не на цвета сторон. Проверьте себя: назовите каждое из трёх рёбер и сравните их цвета; смешанный треугольник не означает проигрыш.

Не проверять все три ребра после хода — значит принимать две одинаково окрашенные стороны за готовый треугольник. Так бывает, когда игрок видит почти замкнутую фигуру и не замечает, что третье ребро ещё свободно или имеет другой цвет. Для самопроверки перечислите три пары вершин и выясните цвет каждого соединяющего их ребра. Проигрыш наступает только при совпадении всех трёх цветов.

Считать, что соединены только соседние на рисунке вершины, — значит неверно понимать игровое поле. Иногда так думают, потому что на обычном рисунке некоторые отрезки пересекаются или выглядят менее заметными. В начале игры ребро есть между каждой парой точек, даже если оно не кажется соседним. Проверьте поле по парам вершин: для шести точек должно получиться пятнадцать рёбер.

Полагать, что можно перекрасить ребро или сделать ход за соперника, — значит менять правила игры. Это заблуждение может появиться, если воспринимать рисунок как общую раскраску, а не как последовательность ходов двух участников. Сверяйтесь с очередью: текущий игрок окрашивает одно свободное ребро только в свой цвет. Уже окрашенные рёбра остаются без изменений, а ход нельзя пропустить.

Связь с другими темами

Для игры полезно знать понятия вершины, ребра и треугольника, а также уметь находить соединения между заданными точками. Эти знания помогают описывать поле и не пропускать рёбра, которые не сразу заметны на рисунке. Игра также развивает перебор вариантов: нужно сравнивать возможные ходы и их последствия. Такие приёмы используют при решении задач на графы и комбинаторику.

Что запомнить

• В игре Сим участвуют два игрока.
• Поле — полный граф на шести вершинах.
• За ход окрашивается одно свободное ребро.
• Треугольник проигрышен для игрока, чьим цветом окрашены все его рёбра.
• При полной раскраске K₆ в два цвета одноцветный треугольник неизбежен.
• Перед ходом проверяй, какие треугольники он может завершить.