§ 25. Электронные таблицы и математическое моделирование

Определения и обозначения

Электронная таблица — это прямоугольная сетка ячеек, предназначенная для хранения и обработки данных. В ячейках могут находиться числа, текст и формулы. Такая форма удобна, когда нужно сравнить много значений или выполнить однотипные вычисления.

Табличный процессор — программа для создания и изменения электронных таблиц. Она умеет выполнять вычисления по формулам, копировать их и автоматически обновлять результаты. Благодаря этому таблица становится не просто хранилищем данных, а инструментом решения задач.

Математическое моделирование — построение и исследование математической модели реального объекта или процесса. В модели оставляют главные величины и связи между ними, а затем записывают эти связи формулами. Такой подход позволяет изучать ситуацию, не проводя каждый раз реальный опыт.

Компьютерный эксперимент — исследование модели с помощью компьютера при разных исходных данных. Пользователь меняет значения и наблюдает, как изменяется результат. Так можно найти закономерность, сравнить варианты и проверить предположение.

Как это устроено

Электронная таблица состоит из строк и столбцов, а их пересечения образуют ячейки. Столбцы обозначаются буквами, строки — числами, поэтому адрес ячейки записывают, например, как C4. Такой адрес нужен, чтобы формула могла точно обратиться к данным, даже если таблица содержит сотни ячеек.

В ячейку вводят исходное число, текст или формулу. Формулу начинают со знака равенства: запись =A1*3 означает, что значение из A1 нужно умножить на 3. Табличный процессор выполняет действие и показывает в ячейке уже вычисленный результат, а не сам ход вычисления.

Чтобы перевести реальную задачу в математическую модель, сначала выделяют существенные величины. Затем определяют, какие значения известны, что требуется найти и как величины связаны между собой. Например, для покупки важны цена, количество и стоимость, а связь можно записать так: стоимость = цена × количество.

Готовую зависимость записывают в одной или нескольких ячейках таблицы. Одни ячейки содержат исходные данные, а другие — формулы, использующие эти данные. Если изменить исходное значение, процессор пересчитает связанные результаты, поэтому не приходится выполнять вычисления заново вручную.

Таблица особенно удобна для исследования зависимости при разных значениях аргумента. Формулу можно распространить на несколько строк или столбцов, и программа подставит соответствующие адреса ячеек. Так получают ряд результатов, сравнивают их и проводят компьютерный эксперимент с небольшими затратами времени.

Электронная таблица как средство математического моделирования

Таблицу удобно заполнять последовательно: от описания ситуации к формуле и затем к проверке результатов. В столбце «Пример» показано, какое содержание может соответствовать каждому этапу. После изменения исходных данных нужно проверить, как изменились вычисляемые значения.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В ячейку A1 внесено число 7, а в B1 — формула =A1*3. Нужно определить значение B1. Здесь A1 является исходными данными, а B1 зависит от них.

1. Прочитаем формулу: она требует умножить содержимое A1 на 3.
2. Подставим вместо A1 известное значение 7.
3. Выполним вычисление: 7 × 3 = 21.

Ответ: в B1 отобразится число 21. Если затем заменить 7 в A1 другим числом, табличный процессор автоматически пересчитает B1.

Задача 2

Условие. Стоимость покупки равна цене одного товара, умноженной на количество. Цена равна 45 рублям, нужно составить таблицу для нескольких количеств. Возьмём количества 1, 2, 3 и 5.

1. В столбец A внесём количества товаров: 1, 2, 3 и 5.
2. В соседней ячейке для первой строки запишем формулу =A2*45.
3. Скопируем формулу вниз и получим значения: 45, 90, 135 и 225 рублей.

Ответ: таблица содержит стоимости 45, 90, 135 и 225 рублей. Ход решения показывает, что цена остаётся постоянной, а стоимость изменяется вместе с количеством товаров.

Задача 3

Условие. Вклад увеличивается ежегодно на 5%, начальная сумма равна 10 000 рублей. Нужно построить таблицу суммы за пять лет и понять, как изменить модель для другой начальной суммы.

1. Для первого года запишем начальную сумму 10 000, а для следующего года формулу =предыдущая сумма*1,05.
2. Скопируем формулу ещё на четыре строки, чтобы получить последовательные значения.
3. Получим примерно: 10 000; 10 500; 11 025; 11 576,25; 12 155,06; 12 762,81 рубля, если считать начальный момент нулевым годом.

Ответ: за пять лет сумма станет примерно 12 762,81 рубля. Для эксперимента достаточно изменить ячейку с начальной суммой, после чего все зависимые значения пересчитаются.

Типичные ошибки

Путаница адреса и содержимого возникает, когда ученик считает A1 самим числом, а не местом его хранения. Адрес указывает положение ячейки, а внутри неё могут быть число, текст или формула. Проверить себя можно, изменив содержимое A1 и посмотрев, остался ли её адрес прежним.

Иногда формулу вводят без знака равенства, например A1*3. Тогда программа может показать запись как обычный текст и не выполнить действие. Проверьте начало формулы: первым символом должен быть знак равенства, а в ячейке должен появиться результат вычисления.

Неверный адрес ячейки приводит к вычислению с другими данными или к сообщению об ошибке. Такая ошибка часто появляется при ручном наборе длинной формулы или выборе соседной ячейки. Сверьте адрес в формуле с заголовком столбца и номером нужной строки.

Нельзя считать результат эксперимента безусловным доказательством для реального мира. Модель учитывает только выбранные величины и зависимости, например постоянную цену или неизменный процент вклада. Чтобы проверить вывод, назовите допущения модели и оцените, применимы ли они к ситуации.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь определять координаты ячеек и выполнять арифметические действия с числами. Эти навыки помогают правильно записывать формулы и находить ошибки в вычислениях.

Тема опирается на понятие математической модели и связана с алгоритмами, обработкой данных и исследованием функций. В дальнейшем таблицы можно использовать для проверки закономерностей и анализа результатов вычислений.

Что запомнить

• Электронная таблица состоит из строк, столбцов и ячеек.
• Адрес ячейки образуется из обозначения столбца и номера строки.
• Формула в электронной таблице начинается со знака равенства.
• Изменение исходных данных приводит к пересчёту зависимых формул.
• Математическая модель описывает существенные для задачи связи между величинами.
• Компьютерный эксперимент позволяет исследовать модель при разных исходных данных.
• Результаты модели нужно истолковывать с учётом её допущений.