Составные условия: слова "и", "или", "не"

Определения и обозначения

Составное условие — условие, образованное из простых условий с помощью логических связок. Например, можно соединить два высказывания о числе: «число больше 5 и чётное». Такое условие нужно, когда для описания ситуации недостаточно одной проверки и требуется учесть несколько свойств.

Логическое «и» — связка, при которой составное условие истинно, только если истинны оба простых условия. Запись «A и B» означает, что должны выполняться сразу требования A и B. Она помогает задавать строгие правила, например допускать действие лишь при выполнении двух проверок.

Логическое «или» — связка, при которой составное условие истинно, если истинно хотя бы одно из простых условий. Выражение «A или B» допускает выполнение A, B либо обоих условий сразу. Эта связка нужна, когда подходят разные варианты достижения цели.

Логическое «не» — связка, которая меняет значение условия на противоположное. Если A истинно, выражение «не A» ложно, а если A ложно — истинно. Отрицание удобно, когда требуется проверить, что некоторого свойства нет, например что число не является чётным.

Как это устроено

Простые условия проверяют отдельные свойства объекта: например, больше ли число 5 или является ли оно чётным. Каждое такое высказывание получает одно из двух значений — «истина» или «ложь», потому что проверяемое свойство либо есть, либо его нет. Эти значения нужны, чтобы рассуждать о проверках по одним и тем же правилам, а не по впечатлению. Обозначим два простых условия буквами A и B.

Составное условие строят, соединяя простые условия словами «и», «или» или добавляя перед условием слово «не». Связка сообщает, как соотнести значения частей, поэтому одного перечисления условий недостаточно. Например, фраза «число больше 5 и чётное» требует, чтобы оба свойства встретились одновременно. А отрицание «не A» рассматривает противоположный результат проверки A.

Для связки «и» результат истинен лишь в случае, когда истинны оба условия; во всех остальных случаях он ложен. Это следует из смысла слова: если требуется выполнить два требования вместе, провал любого из них означает, что всё правило не выполнено. Например, для прохода по правилу «есть билет и предъявлен пропуск» недостаточно одного билета. Поэтому, вычисляя A и B, сначала проверь обе части, а затем убедись, что обе получили значение «истина».

Для связки «или» достаточно истинности хотя бы одного условия, в том числе обоих сразу; результат ложен, только если оба условия ложны. Так происходит потому, что в таком правиле предусмотрено несколько подходящих вариантов: достаточно выбрать любой из них. Например, можно войти, если предъявлен билет или пропуск; наличие обоих документов тоже подходит. Не путай это правило с требованием выбрать ровно один вариант: логическое «или» не запрещает, чтобы истинными оказались обе части.

Связка «не» обращает значение условия: истинное становится ложным, а ложное — истинным. Причина проста: «не A» утверждает, что свойство A отсутствует, поэтому результат противоположен проверке самого A. Если условие «число чётное» истинно, то «число не чётное» ложно. Чтобы вычислить выражение с отрицанием, сначала определи значение того условия, перед которым стоит «не», и только затем поменяй его.

Значения логических операций

В таблице собраны все четыре сочетания значений условий A и B. Найди строку, соответствующую значениям простых условий, а затем прочитай результат в столбце нужной операции. Столбцы «не A» и «не B» показывают отрицание каждого условия отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Даны условия A: «число 8 больше 5» и B: «число 8 чётное». Определи значение выражения A и B. Нужно выяснить, истинны ли оба исходных высказывания, потому что связка «и» требует совместного выполнения. Решать удобнее по очереди: сначала проверить A, затем B и только потом объединить результаты.

1. Проверяем A: 8 больше 5, значит, A истинно.
2. Проверяем B: число 8 делится на 2 без остатка, значит, B истинно.
3. Применяем правило «и»: обе части истинны, поэтому A и B истинно.

Ответ: выражение A и B истинно. Если бы хотя бы одна проверка дала ложь, результат связки «и» тоже был бы ложным. Так можно не угадывать ответ по целой фразе, а опираться на каждую её часть.

Задача 2. Ученик может выбрать игру, если у него есть мяч или скакалка. Мяч есть, скакалки нет. Определи, истинно ли условие выбора. Здесь проверяются два возможных варианта, и нужно установить, подходит ли хотя бы один из них. Наличие одного предмета уже может выполнить правило, поэтому отсутствие второго не обязательно мешает.

1. Обозначим A условие «у ученика есть мяч», а B — «у ученика есть скакалка».
2. По условию задачи A истинно, а B ложно.
3. Связка «или» истинна, если истинно хотя бы одно условие; A истинно, значит, всё выражение истинно.

Ответ: условие выбора истинно, ученик может выбрать игру. Не требуется, чтобы у него были оба предмета, и не требуется выбирать ровно один из двух вариантов. Достаточно того, что подходит хотя бы один.

Задача 3. Доступ разрешён, если число больше 10 и не является чётным. Проверь условие для чисел 13 и 14. В выражении есть отрицание, поэтому сначала нужно проверить чётность и изменить её значение на противоположное. Затем результат соединяют с условием «число больше 10» посредством «и».

1. Для числа 13: оно больше 10, значит, первое условие истинно; 13 нечётное, поэтому условие «не является чётным» тоже истинно.
2. Обе части для числа 13 истинны, следовательно, их связка «и» истинна.
3. Для числа 14: оно больше 10, значит, первая часть истинна; 14 чётное, поэтому «не является чётным» ложно.
4. Для числа 14 одна часть ложна, поэтому всё выражение с «и» ложно.

Ответ: для числа 13 доступ разрешён, а для числа 14 — нет. Отрицание применяют именно к условию о чётности, а не ко всему выражению. После этой проверки связка «и» требует, чтобы оба полученных условия были истинны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при «и» достаточно истинности одного условия. Так путают «и» с «или», потому что в обоих случаях рассматриваются несколько вариантов проверки. Проверь себя: для «и» выпиши значения обеих частей и убедись, что истинны обе. Если хотя бы одна ложна, результат обязан быть ложным.

Ошибка — думать, что «или» требует истинности ровно одного условия. Такое понимание возникает из бытовой фразы «выбери одно», но логическое «или» не запрещает оба истинных варианта. Сверься с таблицей: строка, где A и B истинны, даёт истину для A или B. Значит, достаточно хотя бы одного истинного условия.

Ошибка — понимать «не A» как новое независимое условие, не связанное со значением A. Отрицание не проверяют отдельно: оно переворачивает результат исходной проверки. Чтобы проверить себя, сначала найди значение A, затем замени «истину» на «ложь» или наоборот. Если значение не изменилось, отрицание применено неверно.

Ошибка — определять значение составного условия, не проверив все входящие простые условия. В длинной фразе легко заметить одну часть и поспешить с выводом, хотя другая может изменить ответ. Раздели выражение на простые условия, подпиши возле каждого «истина» или «ложь» и только после этого примени связку. Этот способ особенно полезен, если вместе встречаются «не» и «и» или «или».

Связь с другими темами

Перед изучением составных условий нужно уметь распознавать простые условия и определять, истинны они или ложны. Например, сначала следует понять, какое свойство проверяет фраза, и проверить его на конкретном объекте. Иначе нельзя надёжно вычислить значение выражения, которое объединяет несколько проверок. Значения простых условий служат исходными данными для логических связок.

Составные условия применяются в алгоритмах с ветвлением и при проверке условий выполнения команд. Алгоритм может выбрать следующий шаг в зависимости от того, истинно ли заданное выражение. Например, команда выполняется, только если число больше 10 и одновременно подходит под другое требование. Поэтому правила «и», «или» и «не» помогают точно описывать выбор действий.

Что запомнить

• Условие принимает значение «истина» или «ложь».
• «A и B» истинно, только когда истинны A и B.
• «A или B» истинно, когда истинно хотя бы одно из условий.
• «Не A» имеет значение, противоположное значению A.
• Значение составного условия находят по значениям его простых условий.
• Таблица истинности показывает результат логической операции для всех возможных сочетаний значений.