"Информатика", Семёнов А.Л., Рудченко Т.А.
Многоугольник на клетке можно измерить, даже если он не похож на прямоугольник. Для этого площадь одной клетки принимают за единицу, а фигуру делят на простые части, достраивают до прямоугольника или считают клетки. Эти способы помогают не только найти площадь, но и проверить вычисления. Главное — не потерять часть фигуры, не посчитать её дважды и правильно учесть клетки, пересечённые границей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Клетчатая сетка — это линии, образующие одинаковые квадратные клетки. Узлы сетки можно находить там, где пересекаются две линии, а шаги считать, переходя от одного узла к соседнему по линии: один промежуток равен одной клетке. Это помогает измерять стороны и видеть, из каких одинаковых частей состоит фигура.
Узел сетки — точка пересечения линий клетчатой сетки. Вершины многоугольника на сетке можно располагать в таких узлах, поэтому его удобно изображать и делить по клеткам. Сосчитай промежутки между узлами, чтобы определить длину стороны в клетках.
Многоугольник на сетке — фигура с несколькими сторонами, нарисованная на клетчатой сетке. В задачах этого параграфа рассматриваются фигуры, у которых вершины находятся в узлах, а стороны идут по линиям сетки или соединяют узлы. Сетка помогает увидеть границы многоугольника и сравнить его с простыми фигурами.
Площадь многоугольника на сетке — число единичных клеток, занимаемых фигурой. Единичной считают одну клетку; целые клетки считают сразу, а части клеток нужно объединить или учесть при разбиении фигуры. Это позволяет выразить площадь не только прямоугольника, но и более сложного многоугольника.
Сначала площадь одной клетки принимают за единицу площади. У прямоугольника ряды и столбцы клеток образуют ровные полосы, поэтому клетки можно не пересчитывать по одной: число клеток в одном ряду умножают на число рядов. Например, если в каждом из трёх рядов по четыре клетки, всего получится 4 × 3 клетки.
Фигуру со сложным контуром часто удобно разделить на прямоугольники или другие простые фигуры. Проведи внутри неё линии так, чтобы части покрывали её целиком, но не заходили одна на другую: тогда ни один участок не потеряется и не будет посчитан дважды. Найди площадь каждой части отдельно, а затем сложи результаты, потому что вся фигура состоит именно из этих частей.
Иногда проще достроить многоугольник до прямоугольника, который охватывает его целиком. Сначала найди площадь всего прямоугольника, затем отдельно посчитай клетки в углах и других участках, не входящих в фигуру. Вычти площади всех этих частей: так остаётся площадь самого многоугольника, а подсчёт может стать короче.
Если граница пересекает клетки, подсчёт по целым клеткам не всегда даёт ответ сразу. Нельзя автоматически округлять каждую неполную клетку вверх или вниз: разные части могут составить одну целую клетку или образовать более сложную часть. Попробуй объединить подходящие части клеток либо провести линии и разделить фигуру на простые участки, площадь которых можно посчитать.
Вычисление полезно проверить другим способом. Например, если сначала фигуру разделили на прямоугольники, попробуй охватить её прямоугольником и вычесть внешние части. Совпадение результатов показывает, что оба способа, вероятно, учли одну и ту же фигуру; при несовпадении проверь границы частей и арифметику.
Выбери способ, в котором проще всего увидеть все части фигуры и не считать их дважды. В таблице указано, какие действия нужны и когда каждый способ удобен. Если один способ кажется неудобным, попробуй другой.
| Способ | Что сделать | Как получить площадь | Когда удобен |
|---|---|---|---|
| Разбиение на простые фигуры | Провести внутри фигуры линии и разделить её на прямоугольники или другие простые части. | Найти площадь каждой части и сложить результаты. | Когда внутри многоугольника легко увидеть прямоугольники. |
| Достраивание до прямоугольника | Охватить фигуру прямоугольником и выделить участки вне неё. | Из площади прямоугольника вычесть площади внешних частей. | Когда внешний прямоугольник прост, а лишних частей немного. |
| Подсчёт единичных клеток | Посчитать целые клетки и объединить части клеток, если это возможно. | Сложить площади клеток и их частей. | Когда клеток немного и границы не мешают подсчёту. |
Задача 1. Найти площадь прямоугольника на сетке, если его стороны занимают 4 и 3 клетки. Площадь одной клетки принимаем за единицу, поэтому ответ будет выражен в клетках. Сосчитывать все клетки по одной не нужно: они расположены одинаковыми рядами и столбцами.
Значит, прямоугольник занимает 12 единичных клеток. Ответ: 12 квадратных единиц.
Задача 2. Найти площадь Г-образной фигуры, разбив её на два прямоугольника. Представь, что внутри буквы Г можно провести линию от внутреннего угла до противоположного края. Выбери разбиение так, чтобы две части вместе покрывали фигуру без промежутков и перекрытий.
Складываем, потому что прямоугольники составляют всю фигуру и не накладываются друг на друга. Ответ: площадь Г-образной фигуры равна 14 квадратным единицам.
Задача 3. Найти площадь ступенчатого многоугольника, достроив его до прямоугольника и вычитая вырезанные части. Пусть охватывающий прямоугольник занимает 6 × 5 клеток, а за контуром фигуры остаются два прямоугольных участка размером 2 × 2 и 2 × 1 клетки. Так проще считать, чем складывать несколько узких ступеней по отдельности.
Вычитать нужно именно участки снаружи многоугольника: они попали в большой прямоугольник, но не входят в исходную фигуру. Ответ: площадь ступенчатого многоугольника равна 24 квадратным единицам.
Считать клетки, не установив, что одна клетка принята за единицу площади, — значит не понимать, в каких единицах дан ответ. Так ошибаются, когда сразу переходят к подсчёту. Перед началом подпиши для себя: одна клетка — одна квадратная единица, а в конце проверь, что указал единицу измерения.
При разбиении можно сложить площади частей, которые перекрываются, или не заметить промежуток между ними. Это случается, если провести линии, но не проверить, что части вместе точно повторяют контур фигуры. Проследи по клеткам, что каждый участок попал ровно в одну часть, а все части полностью закрывают многоугольник.
При достраивании легко забыть один внешний участок или вычесть часть, которая вообще не попала в охватывающий прямоугольник. Причина — невнимательно сравнить большой прямоугольник с исходной фигурой. Отметь все области внутри прямоугольника, но снаружи многоугольника, и только их площади вычитай из общей.
Неполные клетки нельзя без обоснования считать целыми: так площадь может оказаться завышенной или заниженной. Ошибка возникает, когда считают клетки по границе так же, как целые клетки внутри. Разбей фигуру линиями или объединяй части, которые вместе образуют целую клетку, а затем сравни результат с подсчётом другим способом.
Для работы с многоугольниками на сетке нужно уметь считать клетки, находить периметр и вычислять площадь прямоугольника. Периметр связан с длиной границы, а площадь — с количеством места внутри фигуры, поэтому не путай эти величины. Умножение числа клеток по длине на число клеток по ширине служит основой для вычислений с более сложными фигурами.
Разбиение и достраивание пригодятся, когда нужно находить площадь сложной фигуры не только на сетке. Эти приёмы помогают составлять геометрические задачи из простых частей и проверять найденный результат. Если фигуру удалось представить как несколько знакомых фигур, её площадь становится проще вычислить.
Что считать одной единицей площади на сетке?
За единицу площади принимают одну клетку сетки. Если сторона фигуры занимает несколько клеток, их число показывает площадь в таких единицах.
Как найти площадь фигуры, если она не похожа на прямоугольник?
Раздели её на прямоугольники или другие простые фигуры и сложи их площади. Другой способ — достроить фигуру до прямоугольника и вычесть лишние части.
Можно ли провести внутри фигуры дополнительные линии для подсчёта?
Да, дополнительные линии помогают разделить фигуру на более простые части. Следи, чтобы части не перекрывались и вместе составляли всю фигуру.
Как учитывать клетки, которые граница пересекает только частично?
Не считай каждую такую клетку целой автоматически: её часть может быть меньше полной клетки. Сложи части, которые вместе образуют целую клетку, или выбери способ разбиения фигуры.
Как проверить, что площадь найдена правильно?
Реши задачу другим способом: например, разбей фигуру на части, а затем проверь результат достраиванием до прямоугольника. Если ответы совпали, это хороший знак, но ещё проверь вычисления и то, что учтена вся фигура.
Многоугольники на сетке
