Пересечение и объединение множеств

Определения и обозначения

Пересечение множеств — это множество элементов, которые входят одновременно во все рассматриваемые множества. Для двух множеств A и B его обозначают A ∩ B и читают «А пересечение Б». Например, если в двух списках есть имя Лена, оно может попасть в пересечение; этот знак помогает коротко записать общую часть списков.

Объединение множеств — это множество элементов, которые входят хотя бы в одно из рассматриваемых множеств. Объединение A и B записывают так: A ∪ B, то есть «А объединение Б». Оно нужно, когда требуется собрать все подходящие элементы из нескольких списков, не теряя те, которые есть только в одном из них.

Общие элементы множеств — это элементы, принадлежащие каждому из них. Именно такие элементы составляют пересечение, поэтому при его поиске нужно сверить все множества, а не только два первых списка при большем их количестве. Это правило позволяет отличить общую часть от набора всех элементов.

Множества называют непересекающимися, если у них нет общих элементов. В таком случае их пересечение пусто: в него нельзя записать ни одного элемента. Это понятие помогает сразу распознать ситуацию, когда пересечение искать по спискам можно, но результатом будет пустое множество.

Как это устроено

Представим два набора предметов: A — красный карандаш, синий карандаш и линейка; B — синий карандаш, ластик и линейка. Чтобы понять, что есть в обоих наборах, ищем предметы, встречающиеся в каждом: это синий карандаш и линейка. А чтобы собрать предметы хотя бы из одного набора, берём все названия из обоих списков, потому что каждый предмет подходит этому условию.

Пересечение строят проверкой элементов, так как слово «общие» означает принадлежность каждому из исходных множеств. Можно взять элементы первого списка по очереди и для каждого спросить: «Есть ли он во всех остальных списках?» Если да — включить его в ответ, если нет — не включать. Такая проверка защищает от ошибки, когда в пересечение попадает элемент, найденный только в одном наборе.

Для объединения нужны элементы из обоих множеств, но множество не содержит повторов одного и того же элемента. Поэтому удобно сначала переписать первый список, а затем просмотреть второй и дописать только то, чего ещё нет в записи. Общие элементы уже присутствуют после первого списка, и повторное добавление не создаёт нового элемента множества.

На диаграмме Эйлера — Венна множества изображают кругами, которые могут пересекаться. Общая область кругов показывает пересечение: туда помещают то, что принадлежит каждому из множеств. Объединение — это вся область внутри обоих кругов, включая части, которые не совпадают; такой рисунок помогает увидеть, почему в объединение входят и общие, и отличающиеся элементы.

Если одно множество целиком находится внутри другого, все элементы меньшего множества уже есть в большем. Поэтому пересечение в таком случае равно меньшему множеству, а объединение — большему: новых элементов за его пределами нет. Если множества не имеют общих элементов, круги на диаграмме не перекрываются, пересечение пусто, а объединение всё равно содержит элементы обоих множеств.

Сравнение пересечения и объединения множеств

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить условие задачи: ищут общее или всё подходящее хотя бы одному множеству. Затем выбери нужное действие и проверь, как оно изображается на диаграмме. Для объединения отдельно проверь, не повторил ли ты элемент.

Разбор задач

Даны множества A = {1, 2, 3} и B = {3, 4}. Найдём A ∩ B. Здесь требуется пересечение, значит, в ответ попадут только числа, присутствующие и в A, и в B.

1. Проверим число 1: оно есть в A, но его нет в B, поэтому не подходит.
2. Проверим число 2: его тоже нет в B, значит, его не включаем.
3. Число 3 есть в обоих множествах, поэтому оставляем его.

Ответ: A ∩ B = {3}. Проверка проста: число 3 действительно стоит в каждом списке, а 1, 2 и 4 — нет.

В кружке рисования занимаются Аня, Боря и Вика, а в шахматном — Боря и Глеб. Нужно записать множество учеников, посещающих оба кружка, и множество тех, кто посещает хотя бы один. Слова «оба» указывают на пересечение, а «хотя бы один» — на объединение.

1. Сверим имена: Боря есть в списке рисования и в списке шахмат.
2. Только Боря посещает оба кружка, поэтому пересечение состоит из одного имени.
3. Для объединения соберём Аню, Борю, Вику и Глеба; имя Бори, встретившееся дважды, запишем только раз.

Ответ: пересечение — {Боря}, объединение — {Аня, Боря, Вика, Глеб}. Можно проверить объединение по условию: каждое из этих четырёх имён есть хотя бы в одном списке.

Даны A = {a, b, c, d} и B = {c, d, e}. Найдём A ∩ B и A ∪ B, а затем сверим результат с диаграммой Эйлера — Венна. Буквы c и d встречаются в обоих множествах, поэтому именно они должны попасть в общую область кругов.

1. Просмотрим элементы A: буквы a и b отсутствуют в B, а c и d есть в B.
2. Запишем пересечение: A ∩ B = {c, d}.
3. Для объединения возьмём все буквы из обоих списков, добавив e и не повторяя c и d.

Ответ: A ∩ B = {c, d}, A ∪ B = {a, b, c, d, e}. На диаграмме c и d помещают в перекрытие кругов, a и b — только в круг A, а e — только в круг B; вся область двух кругов содержит буквы объединения.

Типичные ошибки

В пересечение иногда записывают все элементы обоих множеств. Так происходит, если смотреть на слово «множества», но забыть, что пересечение — только общая часть; в результате пересечение путают с объединением. Проверь себя вопросом: «Есть ли каждый записанный элемент во всех списках?» Если нет, его нужно убрать.

В объединении общий элемент могут повторить дважды, например записать {1, 2, 2, 3}. Обычно так делают, когда просто соединяют списки, не сверяя записи. Но множество описывает элементы, а не число их повторений; при проверке сравни каждый новый элемент со всем уже записанным и добавляй его только один раз.

При поиске пересечения можно включить элемент, который есть лишь в одном множестве. Это случается, если проверить его наличие только в одном списке и сразу записать в ответ. Пересечение требует принадлежности каждому множеству, поэтому для каждого кандидата нужно проверить все исходные списки.

Иногда думают, что у непересекающихся множеств пересечение обязательно содержит один элемент. Ошибка возникает из-за привычки считать, что у результата задачи непременно должен быть элемент. Если общих элементов нет, результат пустой; проверь списки друг против друга и не добавляй в ответ число или предмет, которого там нет.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что множество — это набор элементов, а элемент — отдельный объект из этого набора. Также важно уметь перечислять элементы в фигурных скобках: например, {круг, квадрат}. Без этих умений трудно точно сравнивать списки и записывать результат действий.

Пересечение и объединение пригодятся, когда объекты распределяют по нескольким признакам: например, находят учеников, которые посещают два кружка, или всех участников хотя бы одного. Диаграммы Эйлера — Венна помогают наглядно показать такие группы. Умение читать их связывает запись множеств с рисунком и упрощает проверку ответа.

Что запомнить

• Пересечение содержит элементы, общие для всех рассматриваемых множеств.
• Объединение содержит элементы, входящие хотя бы в одно из множеств.
• Пересечение обозначают знаком ∩, объединение — знаком ∪.
• В объединении каждый элемент записывают только один раз.
• Если множества не имеют общих элементов, их пересечение пусто.
• На диаграмме Эйлера — Венна пересечение — общая часть областей, объединение — все области вместе.