10.1. Прямолинейное движение

Определения и обозначения

Прямолинейное движение — движение тела по прямой. Чтобы описать его, достаточно указать, где тело находится на этой прямой в выбранный момент. Такое описание помогает проследить перемещение тела без построения сложной траектории.

Координата тела — число, определяющее его положение на координатной прямой относительно начала отсчёта. Обычно её обозначают буквой x и указывают единицу измерения, например метр. Координата нужна, чтобы однозначно сообщить положение тела и сравнивать его положение в разные моменты.

Скорость — величина, показывающая, как быстро и в каком направлении изменяется координата тела. Для равномерного движения её находят, разделив изменение координаты на время: v = (x − x₀) / t. Скорость нужна не только для оценки быстроты, но и для описания направления движения.

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянной скоростью. За одинаковые промежутки времени тело при этом проходит одинаковые расстояния. Эта модель позволяет вычислять координату тела, даже если его положение в нужный момент не измеряли.

Как это устроено

Сначала для описания движения выбирают прямую, начало отсчёта и положительное направление. Начало отсчёта задаёт точку, от которой измеряют координаты, а положительное направление помогает присваивать им знаки. Поэтому одно и то же положение может получить разные координаты при разных выборах оси, но само тело от этого не перемещается.

При равномерном движении за равные промежутки времени тело проходит равные расстояния, потому что скорость не меняется. Значит, за каждую секунду координата изменяется на одну и ту же величину, если движение не меняет направления. Поэтому изменение координаты пропорционально прошедшему времени.

Чтобы найти координату в конце движения, учитывают и начальное положение тела, и то, насколько координата изменилась за это время. Изменение равно произведению скорости на время, то есть vt. Прибавив его к начальной координате, получают формулу x = x₀ + vt, где x₀ — координата в начале отсчёта времени.

Знак скорости задаёт направление движения относительно выбранного положительного направления. Если скорость положительна, тело движется в сторону увеличения координаты; если отрицательна — в сторону её уменьшения. Поэтому в формулу подставляют скорость со знаком, а не только её числовое значение без знака.

При равномерном движении координата меняется на одинаковую величину за одинаковые промежутки времени, поэтому график x от t получается прямой. Чем больше модуль скорости, тем сильнее наклон этой прямой; знак наклона показывает направление движения. Точка пересечения с вертикальной осью соответствует времени t = 0, поэтому её координата равна x₀.

Величины и зависимости при равномерном прямолинейном движении

Сначала найди в условии начальную координату и скорость, не забывая проверить знак скорости. Затем выбери строку с нужной величиной и используй указанную формулу или способ определения. В таблице координата и скорость относятся к выбранным началу отсчёта и направлению оси.

Разбор задач

Координата через заданное время

Тело движется по прямой с начальной координатой 2 м и скоростью 3 м/с. Нужно найти координату через 4 с. Положительная скорость означает, что координата будет увеличиваться, поэтому к начальному значению прибавится изменение координаты.

1. Запишем формулу равномерного движения: x = x₀ + vt. Она складывает начальное положение и изменение координаты за время.
2. Подставим данные: x = 2 м + 3 м/с · 4 с. Единица «с» сокращается, а произведение скорости на время равно 12 м.
3. Вычислим: x = 2 м + 12 м = 14 м. Значит, через 4 с тело окажется в точке с координатой 14 м.

Ответ: 14 м.

Скорость и направление

Вначале тело находится в точке с координатой 12 м, а через 3 с — в точке с координатой 3 м. Требуется найти скорость и определить направление движения. Координата уменьшилась, поэтому при вычислении скорости получится отрицательный знак.

1. Найдём изменение координаты: Δx = 3 м − 12 м = −9 м. Вычитание конечной координаты и начальной показывает не только величину изменения, но и его направление.
2. Разделим изменение координаты на время: v = Δx / t = (−9 м) / 3 с = −3 м/с. Отрицательный знак сохраняем, так как он является частью ответа.
3. Сделаем вывод о направлении. Скорость −3 м/с означает, что тело движется в сторону уменьшения координаты относительно выбранного положительного направления.

Ответ: −3 м/с; движение направлено в сторону уменьшения координаты.

Встреча двух тел

Первое тело начинает движение из координаты −4 м со скоростью 2 м/с, второе — из координаты 8 м со скоростью −1 м/с. Чтобы найти момент встречи, надо определить, когда их координаты станут одинаковыми. Направления уже учтены в знаках скоростей, поэтому отрицательную скорость второго тела нельзя заменять модулем.

1. Запишем координаты как функции времени: x₁ = −4 + 2t, x₂ = 8 − t. В формулах время t измеряется в секундах, а координаты — в метрах.
2. При встрече координаты равны, поэтому приравняем выражения: −4 + 2t = 8 − t. Перенесём слагаемые: 3t = 12, откуда t = 4 с.
3. Подставим найденное время в любую формулу: x₁ = −4 + 2 · 4 = 4 м. Проверка по второй формуле даёт x₂ = 8 − 4 = 4 м, значит, тела действительно находятся в одной точке.

Ответ: тела встретятся через 4 с в точке с координатой 4 м.

Типичные ошибки

Ошибка: считать координату пройденным путём. Их путают, потому что обе величины связаны с движением, но координата зависит от начала отсчёта и может быть отрицательной, а путь показывает длину пройденной траектории. Проверь себя: если поменять начало отсчёта, координата изменится, а пройденный путь — нет.

Ошибка: подставлять в формулу модуль скорости вместо скорости со знаком. Так делают, когда воспринимают скорость только как быстроту, хотя знак сообщает направление движения относительно оси. Проверь себя по условию: если координата уменьшается, скорость должна быть отрицательной.

Ошибка: принимать начальную координату за начало отсчёта. Это происходит из-за слова «начальная», которое обозначает момент времени, а не точку с координатой ноль. Уточни, где находится тело при t = 0: x₀ может быть любым числом, например −4 м или 8 м.

Ошибка: считать, что наклон графика показывает координату. Наклон связан с тем, как быстро координата меняется со временем, то есть со скоростью; сама координата считывается по вертикальной оси. Проверь себя: выбери момент времени на горизонтальной оси и посмотри соответствующее ему значение по вертикали.

Связь с другими темами

Для описания движения нужны координатная прямая, начало отсчёта и положительное и отрицательное направления. Пригодится и умение находить скорость как изменение координаты за время: оно объясняет, откуда берётся формула движения. Зависимость координаты от времени связывает вычисления с графиками и помогает строить компьютерные модели. С помощью таких моделей можно сравнивать движение нескольких тел и находить, например, время их встречи.

Что запомнить

• Для описания движения сначала выбирают прямую и начало отсчёта.
• Координата задаёт положение тела, а не пройденный им путь.
• При равномерном движении скорость постоянна.
• Координата равна начальной координате плюс произведение скорости на время.
• Знак скорости указывает направление движения относительно выбранного направления.
• График координаты от времени при равномерном движении — прямая.