§ 15. Простые и составные условия

Определения и обозначения

Условие — высказывание, которое принимает одно из двух значений: истина или ложь. Например, утверждение «7 больше 5» истинно, а «3 больше 5» ложно. Условие нужно алгоритму, чтобы выбрать действие в зависимости от результата проверки.

Простое условие — условие, образованное сравнением двух величин с помощью знаков сравнения. Можно сравнить числа, значения переменных или выражения: например, x > 5 или a + 2 = b. Такая запись позволяет проверить одно свойство и получить однозначный ответ — истину либо ложь.

Составное условие — условие, полученное объединением простых условий логическими операциями. Например, запись (x ≥ 2) И (x ≤ 8) содержит сразу две проверки. Составные условия нужны, когда для выбора действия требуется учесть несколько требований.

Логические операции — операции И, ИЛИ и НЕ, изменяющие или объединяющие значения условий. И и ИЛИ соединяют проверки, а НЕ меняет значение одной проверки на противоположное. С их помощью алгоритм может принимать решение по более сложному правилу, чем одно сравнение.

Как это устроено

Чтобы получить простое условие, сравните две величины одним из знаков: =, ≠, <, >, ≤ или ≥. Например, x + 1 ≤ 6 при x = 4 становится сравнением 5 ≤ 6 и даёт истину. При x = 7 получится 8 ≤ 6, то есть ложь. Других результатов сравнение дать не может: две величины либо соответствуют указанному отношению, либо нет. Поэтому результат можно использовать для выбора дальнейшего шага алгоритма.

Операция И объединяет проверки, которые должны выполняться одновременно. Например, чтобы число было не меньше 2 и не больше 8, нужны обе границы: x ≥ 2 и x ≤ 8. Если хотя бы одна часть ложна, всё условие И ложно, потому что число нарушает одно из требований. Истина получится только тогда, когда истинны все части составного условия.

Операция ИЛИ нужна, когда достаточно одного из нескольких вариантов. Условие «x < 0 ИЛИ x > 10» истинно, если число меньше нуля или больше десяти. Если верна хотя бы одна часть, весь результат уже истинен; обе части могут быть истинными одновременно. Если обе части ложны, условие ИЛИ тоже ложно.

Операция НЕ относится к условию и заменяет его значение на противоположное. Если x > 5 истинно, то НЕ (x > 5) ложно; если исходная проверка ложна, её отрицание истинно. Поэтому НЕ удобно, когда нужно проверить, что некоторое свойство не выполняется. Скобки показывают, какую именно проверку отрицают.

Скобки определяют, какую часть составного условия вычисляют прежде остальных, и помогают избежать двусмысленности. Если скобок нет, обычно сначала выполняют НЕ, затем И, затем ИЛИ. Так, выражение A ИЛИ B И C по этому порядку читается как A ИЛИ (B И C), а не как (A ИЛИ B) И C. Если требуется иной смысл, его явно задают скобками; это особенно важно при смешении нескольких операций.

Простые и составные условия и логические операции

Сначала определите, что именно проверяет каждая часть записи, затем примените правило соответствующей операции. Для смешанных условий учитывайте скобки, а при их отсутствии — порядок НЕ, И, ИЛИ. Таблица помогает быстро сверить не только обозначение, но и условие истинности результата.

Разбор задач

Задача 1. Определить, истинно ли условие x > 5 при x = 7 и при x = 3. Здесь одно простое условие, поэтому достаточно подставить значение переменной и сравнить получившиеся числа. Решим оба случая отдельно, чтобы не переносить результат одной проверки на другую.

1. При x = 7 получаем 7 > 5. Это верное сравнение, значит условие истинно.
2. При x = 3 получаем 3 > 5. Это неверное сравнение, значит условие ложно.

Ответ. При x = 7 условие истинно, а при x = 3 — ложно. Переменная задаёт разные значения, поэтому результат проверки также может меняться. В алгоритме по этому результату можно выбрать нужную ветвь действий.

Задача 2. Записать условие, проверяющее, принадлежит ли число x отрезку [2; 8]. Отрезок включает обе границы, поэтому подходят и 2, и 8. Число должно быть одновременно не меньше 2 и не больше 8.

1. Первую границу запишем как x ≥ 2: так проверяется, что число не левее начала отрезка.
2. Вторую границу запишем как x ≤ 8: она проверяет, что число не правее конца отрезка.
3. Обе проверки должны быть истинными одновременно, поэтому соединим их операцией И и выделим скобками.

Ответ. Условие имеет вид (x ≥ 2) И (x ≤ 8). Например, при x = 2 обе части истинны, поэтому число принадлежит отрезку. При x = 9 вторая часть ложна, и всё составное условие ложно.

Задача 3. Проверить условие x < 0 ИЛИ x > 10 при разных значениях x: −3, 4 и 12. Оно должно определить, находится ли число за пределами промежутка от 0 до 10. Для каждого значения отдельно вычислим обе части и только потом применим правило ИЛИ.

1. При x = −3: −3 < 0 истинно, а −3 > 10 ложно. Одна часть истинна, значит всё условие истинно.
2. При x = 4 обе части ложны: 4 не меньше нуля в смысле первой проверки и не больше десяти в смысле второй. Следовательно, условие ложно.
3. При x = 12 первая часть ложна, а 12 > 10 истинно. Значит, всё условие истинно.

Ответ. При x = −3 и x = 12 действие по этому условию выполняется, а при x = 4 — нет. Для ИЛИ достаточно истинности одной части, поэтому ложная соседняя проверка не отменяет истинный результат. Если обе части ложны, действие не выполняется.

Типичные ошибки

Путают И и ИЛИ, потому что в обычной речи эти слова иногда используют нестрого. Тогда выбирают ИЛИ, хотя выполнить должны все требования, или И, хотя достаточно одного варианта. Перед вычислением сформулируйте правило своими словами: «все части» означает И, «хотя бы одна» — ИЛИ. Затем проверьте ответ на примере, когда истинна только одна часть.

Для отрезка иногда записывают x ≥ 2 ИЛИ x ≤ 8. Такая запись неверна: почти любое число удовлетворяет хотя бы одному из этих нестрогих сравнений, даже если оно находится за пределами отрезка. Обе границы должны соблюдаться одновременно, значит, требуется И. Проверьте запись на числе 10: условие с ИЛИ даст истину, хотя 10 не принадлежит отрезку [2; 8].

При использовании НЕ забывают, к какой части оно относится, или отрицают только часть составного условия. Например, НЕ (A И B) и (НЕ A) И B имеют разный смысл. Чтобы избежать ошибки, заключите отрицаемое выражение в скобки и сначала определите значение внутри них. Затем поменяйте полученный результат на противоположный.

Ещё одна ошибка — игнорировать порядок операций или оставлять выражение без нужных скобок. При сочетании И и ИЛИ это может изменить смысл, потому что И обычно выполняется раньше ИЛИ. Сначала расставьте скобки по условию задачи, а затем вычисляйте части в заданном порядке. Для самопроверки сравните запись с формулировкой словами: должны ли проверки выполняться все вместе или достаточно одной?

Связь с другими темами

Для работы с условиями нужны знания о переменных, числовых выражениях и знаках сравнения, а также умение читать простые алгоритмы. Эти навыки помогают подставлять значения и получать истину или ложь. Ветвления и циклы используют условия, чтобы выбирать действия или определять, нужно ли повторять шаги. Составные проверки особенно полезны для диапазонов чисел и нескольких ограничений одновременно.

Что запомнить

• Условие имеет значение истина или ложь.
• Простое условие содержит одно сравнение.
• Составное условие образуется из простых условий.
• Операция И истинна только тогда, когда истинны все её части.
• Операция ИЛИ истинна, если истинна хотя бы одна её часть.
• Операция НЕ заменяет истину на ложь, а ложь — на истину.
• Скобки помогают явно задать порядок вычисления составного условия.