19.1. Использование числовых последовательностей

Определения и обозначения

Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, в котором каждому элементу соответствует своё место. Элементы часто обозначают a₁, a₂, a₃ и так далее, а буква с индексом указывает номер элемента. Такое обозначение помогает говорить о любом члене ряда, а не только о первых числах.

Член последовательности — отдельное число, стоящее на определённом месте в ряду. Например, в последовательности 3, 6, 9 число 6 — второй член, то есть a₂. Номер нужен, чтобы не путать значение числа с его положением: одно и то же значение может встретиться в последовательности несколько раз.

Правило последовательности — способ, по которому получают её члены или переходят от одного элемента к следующему. Например, для ряда 4, 7, 10 правило состоит в прибавлении 3. Правило нужно, чтобы продолжать ряд и вычислять значения, не перечисляя числа наугад.

Разность соседних членов — результат вычитания предыдущего элемента из следующего. Если такая разность постоянно равна одному числу d, ряд называют арифметической последовательностью: aₙ₊₁ = aₙ + d. Эта запись удобна для описания равномерного увеличения или уменьшения значений.

Отношение соседних членов — результат деления следующего элемента на предыдущий, если деление возможно. Когда оно постоянно и равно q, ряд называют геометрической последовательностью: aₙ₊₁ = aₙ × q. Такое правило описывает изменение, при котором значение каждый раз умножают на один и тот же множитель.

Как это устроено

Последовательность отличается от простого списка тем, что порядок её элементов имеет значение. Если переставить числа местами, правило может перестать работать, а значения, соответствующие номерам, изменятся. Поэтому при записи ряда важно сохранять исходный порядок и понимать, какой элемент находится на каждой позиции.

Чтобы продолжить ряд, сначала сравнивают соседние числа. Можно вычислить разности: если они одинаковы, вероятно, каждый раз прибавляется одно и то же число. Например, для 5, 8, 11 разности равны 3, поэтому следующий член получается прибавлением 3 к 11. Проверка нескольких переходов нужна, чтобы не принять случайное совпадение за правило.

Иногда постоянна не разность, а отношение соседних членов. В ряду 2, 6, 18 каждый раз происходит умножение на 3, поэтому следующий элемент равен 54. Такой способ даёт быстро растущие значения; если множитель меньше 1, числа, наоборот, могут уменьшаться. Делить на ноль нельзя, поэтому отношение не используют для перехода от нулевого члена.

Не всякая последовательность определяется одним очевидным способом. Например, первые числа могут подходить сразу к нескольким правилам, которые дадут разные следующие элементы. Поэтому при решении задачи используют все условия: словесное описание, формулу, таблицу или дополнительные известные члены. Если дано только несколько чисел, правило обычно выбирают по наиболее простой закономерности, но результат стоит проверить.

В электронной таблице каждый член можно поместить в отдельную ячейку строки или столбца. Когда первые элементы введены, программа иногда распознаёт шаг изменения и продолжает ряд при протягивании маркера заполнения — маленького элемента в углу выделенной ячейки. Если распознавание не срабатывает, формулу следующего члена можно задать явно. Например, если значения стоят в столбце A, в ячейке A3 формула =A2+3 вычислит очередное число при постоянной разности 3.

Формула особенно полезна, когда последовательность длинная или элементы нужно пересчитывать после изменения исходных данных. При копировании формулы вниз относительная ссылка A2 обычно превращается в A3, затем в A4 и так далее. Благодаря этому для каждой строки применяется то же правило к предыдущему значению. После заполнения следует проверить несколько результатов вручную и убедиться, что ссылки перемещаются правильно.

Как представлять последовательности в таблице

Сначала выберите строки таблицы, подходящие к условию, а затем сравните соседние значения. В первой строке постоянной должна быть разность, во второй — отношение, а в третьей нужно заметить повторяющийся порядок действий. Таблица помогает не перепутать вид закономерности, но вывод всё равно следует проверить на каждом переходе.

Разбор задач

Задача. В электронной таблице нужно получить первые шесть членов последовательности 7, 11, 15, … и определить шестой член. Будем считать, что каждый следующий член получают одинаковым прибавлением. Нужно не просто продолжить числа, а проверить, какое правило подходит к уже данным значениям.

1. Запишем известные члены и сравним соседние: 11 − 7 = 4, 15 − 11 = 4. Разности совпадают, значит, здесь подходит правило прибавления числа 4.
2. Определим последующие члены по этому правилу: после 15 получаем 15 + 4 = 19, затем 19 + 4 = 23 и 23 + 4 = 27. Получается ряд 7, 11, 15, 19, 23, 27.
3. Проверим результат по номерам: первый член равен 7, а каждый следующий на 4 больше предыдущего. Шестой член действительно равен 27, потому что от первого до шестого выполняется пять переходов, каждый с прибавлением 4.
4. Для таблицы введём 7, 11 и 15 в ячейки A1, A2 и A3. Выделим эти ячейки и попробуем протянуть маркер заполнения до A6: программа может распознать шаг 4. Если этого не произошло, введём в A4 формулу =A3+4, а затем скопируем её в A5 и A6.
5. Проверим формулы: в A4 должна появиться ссылка на A3, в A5 — на A4, в A6 — на A5. Если ссылки сдвинулись именно так, таблица применяет правило к предыдущему члену, а не повторяет одно и то же действие с исходной ячейкой.

Ответ: шестой член последовательности равен 27. В таблице его можно получить продолжением распознанного ряда или формулой, которая каждый раз прибавляет 4 к предыдущему значению.

Типичные ошибки

• Путают номер члена с его значением. Например, a₄ означает четвёртый элемент, а не число 4. Ошибка возникает, потому что индекс записан маленькой цифрой рядом с буквой. Проверяйте, спрашивается ли номер позиции или само значение элемента.
• Продолжают ряд по одному переходу. Разность между первой парой чисел может случайно совпасть с простой закономерностью. Так ошибаются, когда торопятся и не проверяют остальные пары. Найдите разности или отношения для всех известных соседних членов.
• Считают, что одинаковая разность и одинаковое отношение — одно и то же. При постоянной разности прибавляют число, а при постоянном отношении умножают. Эти способы дают разные ряды, поэтому выпишите несколько переходов целиком и проверьте, какое действие повторяется.
• Копируют формулу с неверной ссылкой. Тогда таблица может многократно вычислять одно и то же значение вместо продолжения ряда. Причина часто в том, что ссылка закреплена или выбрана не та ячейка. Посмотрите формулы в двух-трёх соседних строках и убедитесь, что ссылка на предыдущий член меняется.

Связь с другими темами

Последовательности связывают вычисления с таблицами: каждое число можно записать в отдельную ячейку, а правило — оформить формулой. Это помогает использовать адреса ячеек и копирование формул, изучаемые при работе с электронной таблицей. Сравнение разностей и отношений опирается на арифметические действия и свойства чисел.

Идея последовательного получения значений встречается и в алгоритмах: сначала задают начальные данные, затем повторяют одно и то же действие. Цикл в программе может вычислять новые члены ряда по правилу. Поэтому умение увидеть закономерность помогает не только продолжить числовой ряд, но и описать повторяющиеся вычисления.

Что запомнить

• Числовая последовательность — это упорядоченный ряд чисел, связанный правилом.
• Индекс у обозначения aₙ показывает номер члена, а не его значение.
• Постоянная разность означает прибавление одного и того же числа: aₙ₊₁ = aₙ + d.
• Постоянное отношение означает умножение на один и тот же множитель: aₙ₊₁ = aₙ × q.
• В таблице закономерность можно продолжить маркером заполнения или формулой.
• Перед использованием ряда проверьте правило на нескольких соседних членах и убедитесь, что формулы ссылаются на правильные ячейки.