11.3. Числовые данные

Определения и обозначения

Числовые данные — это значения, представленные числами и используемые в программе. С их помощью вычисляют результаты, обрабатывают измерения и решают задачи, где нужно сравнивать или преобразовывать величины. Например, программа может сложить цены покупок или найти расстояние по введённым данным. Чтобы вычисление было точным, нужно понимать, какие числа хранит программа.

Целое число — число без дробной части. К целым относятся положительные числа, например 25, отрицательные, например −8, и ноль. Знак показывает, по какую сторону от нуля находится значение, но не меняет его вид. Целые числа удобны, когда считают предметы или используют значения, которым не нужна дробная часть.

Вещественное число — число, которое может иметь дробную часть. В программе десятичную дробь обычно записывают с точкой: например, 3.14 или −0.5. Такие числа позволяют представить измерения и результаты деления, которые не выражаются целым числом. Поэтому их используют, когда вычислению нужна дробная точность.

Арифметическое выражение — запись из чисел и знаков арифметических операций, например 7 + 2 · 3. При вычислении выражения получают числовой результат, в этом примере — 13. Выражения помогают задать программе последовательность вычислений одной записью. Скобки позволяют явно указать, какие действия нужно выполнить раньше.

Как это устроено

Целые и вещественные числа различаются тем, можно ли представить значение без дробной части. Например, количество книг можно записать целым числом, а длину отрезка — вещественным, если она составляет 4.5 см. Выбор вида данных важен, потому что он влияет на то, какие значения можно хранить и как выполнять операции. Если дробная часть нужна, но используется только целочисленное представление, результат может оказаться неподходящим для задачи.

Над числами выполняют сложение, вычитание, умножение и деление. В выражениях им соответствуют знаки +, −, * и /; запись 6 * 4 означает умножение, а 6 / 4 — деление. Эти операции позволяют описывать расчёты: например, общую стоимость нескольких одинаковых товаров или долю величины. Знак операции показывает, что именно следует сделать с числами, но для правильного результата нужно также учитывать порядок действий.

Порядок вычислений нужен, чтобы одно выражение имело определённый результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение с вычитанием; действия одного приоритета выполняют слева направо. Например, в выражении 18 − 4 · 3 + 2 сначала находят произведение 4 · 3, а не вычитают 4 из 18.

Результат операции не обязательно имеет тот же вид, что исходные значения. При делении 5 на 2 получается 2.5, то есть вещественное число, хотя оба числа в записи целые. Это происходит потому, что целые значения не всегда делятся друг на друга без остатка. Поэтому при вычислениях, где возможна дробная часть, нужно учитывать вид результата и требования используемой программы.

Числовое значение записывают с учётом знака и правил языка программирования. Отрицательное число обозначают знаком минус, а десятичную дробь в языках, использующих точку, записывают, например, как −0.5, а не −0,5. Скобки ставят так, чтобы порядок вычислений соответствовал условию: для среднего трёх чисел сначала нужно сложить их, а затем разделить сумму на три. Проверить запись можно, мысленно подставив в выражение простые значения и проследив, какие действия будут выполнены первыми.

Виды числовых данных и действия с ними

Сравнивайте строки таблицы, чтобы определить, какой вид чисел подходит для задачи. Если в результате может появиться дробная часть, используйте вещественные значения или убедитесь, что язык программирования корректно выполняет такое вычисление. Знак числа сам по себе не показывает, целое оно или вещественное.

Разбор задач

Задача 1. Записать целые значения −8, 0 и 25 как числовые данные и определить их вид. Здесь нужно проверить не знак числа, а наличие дробной части. Все три значения записаны без десятичной части, поэтому их относят к целым числам.

1. Записываем значения: −8, 0 и 25. Их знаки различаются: первое число отрицательное, второе равно нулю, третье положительное.
2. Проверяем каждую запись на наличие дробной части. Ни после одного значения нет точки и цифр дробной части.
3. Делаем вывод: каждое из этих значений является целым числом. Отрицательный знак у −8 не мешает отнести его к целым.

Ответ: −8, 0 и 25 — целые числовые данные.

Задача 2. Вычислить выражение 18 − 4 · 3 + 2. Нельзя просто выполнять все действия подряд слева направо: умножение имеет приоритет перед сложением и вычитанием. Сначала найдём произведение, а затем выполним оставшиеся действия слева направо.

1. В выражении нет скобок, поэтому сначала выполняем умножение: 4 · 3 = 12.
2. Подставляем результат: 18 − 12 + 2. Теперь вычитание и сложение имеют одинаковый приоритет, значит, считаем слева направо.
3. Вычитаем: 18 − 12 = 6. Затем складываем: 6 + 2 = 8.

Ответ: значение выражения равно 8.

Задача 3. Составить выражение для среднего арифметического трёх введённых чисел и объяснить, почему результат может быть вещественным. Обозначим числа буквами a, b и c. Среднее арифметическое — это сумма значений, разделённая на их количество.

1. Записываем сумму трёх чисел: a + b + c. Она должна быть вычислена целиком до деления.
2. Ставим сумму в скобки и делим на количество чисел: (a + b + c) / 3. Скобки показывают требуемый порядок действий.
3. Результат может быть вещественным, если сумма не делится на 3 нацело. Например, для чисел 1, 2 и 4 получается 7 / 3, то есть число с дробной частью.

Ответ: выражение для среднего — (a + b + c) / 3; его результат может быть вещественным.

Типичные ошибки

Ошибка — считать целым любое число без знака или, наоборот, не считать целым отрицательное значение. Так думают, потому что знак часто связывают с отдельным видом числа, хотя он показывает только положительное или отрицательное значение. Проверяйте запись по наличию дробной части: −8 — целое, а −8.2 — вещественное.

Ошибка — писать десятичную дробь через запятую, когда язык программирования требует точку. Запятая в программе может использоваться для разделения значений, поэтому такая запись не всегда будет воспринята как одно число. Проверьте синтаксис языка и используйте, например, 3.14, если десятичный разделитель — точка.

Ошибка — выполнять все действия слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Это происходит, когда выражение читают как обычную строку, а не как математическую запись с установленными правилами. Перед вычислением отметьте скобки, затем умножение и деление, и только после этого сложение и вычитание.

Ошибка — не ставить скобки, хотя по условию часть выражения должна вычисляться первой. Например, запись a + b + c / 3 делит на три только c, а не всю сумму. Сформулируйте порядок словами и проверьте, соответствует ли ему запись; для среднего используйте (a + b + c) / 3.

Связь с другими темами

Для работы с числовыми данными нужно уметь выполнять арифметические действия, соблюдать их порядок и правильно записывать числа. Эти знания помогают понять, почему выражения со скобками и без них могут давать разные результаты. Они также нужны, чтобы отличать целую часть значения от дробной и корректно выполнять вычисления.

Числовые данные встречаются в программах для вычислений, обработки результатов измерений и решения прикладных задач. Например, программа может рассчитать среднюю оценку, стоимость покупки или длину маршрута. В каждой задаче важно выбрать подходящий вид чисел и записать выражение, которое соответствует условию.

Что запомнить

• Числовые данные бывают целыми и вещественными.
• Целое число не имеет дробной части.
• Вещественное число может иметь дробную часть.
• В числовых выражениях нужно соблюдать порядок действий.
• Скобки позволяют явно задать порядок вычислений.
• Результат операции может относиться к другому виду числовых данных, чем исходные значения.