"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Модель роста или убывания помогает описать, как величина меняется по шагам: например, как увеличивается численность группы или уменьшается сумма на счёте. Для модели задают начальное значение, процент изменения и длительность шага. Затем по формуле получают новые значения, каждый раз используя результат предыдущего шага. Такой способ позволяет составить таблицу, проверить расчёты и найти момент, когда величина достигнет заданного порога.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модель роста — описание процесса, в котором значение величины на каждом шаге увеличивается по заданному правилу. Для неё указывают начальное значение, процент роста и длительность шага. Это нужно, чтобы одинаково рассчитывать каждый следующий этап, а не угадывать изменение.
Модель убывания описывает процесс, в котором величина на каждом шаге становится меньше по установленному правилу. В модели задают, на сколько процентов уменьшается значение, и как часто происходит пересчёт. Она помогает рассчитывать, например, постепенное уменьшение суммы или численности.
Шаг моделирования — один интервал времени или этап процесса, после которого значение пересчитывают. Шагом может быть месяц, год или другой промежуток, соответствующий условию. Его длительность нужна, чтобы понимать, к какому именно периоду относится процент изменения.
Процентное изменение — изменение величины относительно её значения перед очередным шагом. Процент роста задаёт коэффициент, больший единицы, а процент убывания — коэффициент меньше единицы. Коэффициент показывает, во сколько раз нужно умножить текущее значение для перехода к следующему.
Чтобы построить модель, задают три исходных параметра: начальное значение, процент изменения за шаг и число шагов. Начальное значение показывает, откуда начинается процесс, а процент определяет правило пересчёта. Число шагов задаёт, сколько раз это правило нужно применить. Длительность одного шага тоже уточняют: иначе, например, годовой процент можно ошибочно применить каждый месяц.
При росте на p процентов новое значение равно предыдущему, умноженному на 1 + p/100. Здесь p/100 — процент, записанный десятичной дробью, а единица соответствует всей прежней величине. Например, при росте на 5% коэффициент равен 1,05: после умножения остаётся прежнее значение и добавляется ещё пять сотых от него. При убывании используют 1 − p/100, поскольку часть величины, равная проценту уменьшения, вычитается.
Повторное применение правила создаёт последовательность значений: результат одного шага становится исходным значением следующего. Поэтому процент рассчитывают от текущей величины, а не от начальной. Если величина выросла, например, с 200 до 210, то следующий рост на 5% составит 5% уже от 210. Так учитывается накопленное изменение, и процесс описывается точнее.
В электронной таблице начальное значение записывают в одну ячейку, а формулу следующего шага — в ячейку под ней. Например, если значение находится в B2, то в B3 можно записать =B2*1,05. При копировании формулы вниз относительная ссылка B2 смещается: следующая строка использует значение непосредственно над ней. Благодаря этому таблица рассчитывает все шаги одним и тем же правилом.
Готовую таблицу проверяют на первых шагах и сверяют с условием задачи. Это позволяет заметить, если вместо процента за месяц использовали процент за год или неверно выбрали направление изменения. Также проверяют, что формула каждой строки ссылается на предыдущее значение, а не на начальное. Даже правильно скопированная формула даст неверный ответ, если исходные данные или длительность шага заданы неправильно.
| Характеристика | Рост на p% за шаг | Убывание на p% за шаг |
|---|---|---|
| Изменение за один шаг | Величина увеличивается на p% от текущего значения | Величина уменьшается на p% от текущего значения |
| Коэффициент пересчёта | 1 + p/100 | 1 − p/100 |
| Формула нового значения | Текущее значение · (1 + p/100) | Текущее значение · (1 − p/100) |
| Значение после n шагов | A₀ · (1 + p/100)ⁿ | A₀ · (1 − p/100)ⁿ |
| Пример процесса | Рост численности группы | Уменьшение суммы на счёте |
Сначала найдите в таблице строку с нужной характеристикой, а затем сравните правила в двух соседних столбцах. В формулах A₀ обозначает начальное значение, а n — число шагов. Для последовательных вычислений можно пользоваться формулой нового значения, а для одинаковых шагов — выражением для значения после n шагов.
Условие. Величина равна 200 и за каждый шаг увеличивается на 5%. Найдите значения после двух шагов. Поскольку процент применяется к значению перед очередным шагом, каждый раз нужно умножать предыдущий результат на 1,05.
Ответ: после первого шага величина равна 210, после второго — 220,5.
Условие. На счёте 500 условных единиц, сумма ежегодно уменьшается на 12%. Составьте в электронной таблице значения за пять лет. Каждый год остаётся 100% − 12% = 88% суммы, поэтому коэффициент пересчёта равен 0,88.
Ответ: за пять лет получится 500 · 0,88⁵ ≈ 263,82 условной единицы. Таблица покажет промежуточные значения и поможет проверить результат каждого года.
Условие. Численность группы составляет 800 особей и ежемесячно увеличивается на 7%. Определите, через сколько месяцев она превысит 1000 особей. Нужно найти не просто примерное значение, а первый целый шаг, на котором численность станет больше порога.
Ответ: численность впервые превысит 1000 особей через 4 месяца. В модели получаются расчётные значения, поэтому дробное число особей при необходимости округляют по условию задачи.
Если каждый раз прибавлять процент от начального значения, получится постоянная прибавка, а не последовательный рост по заданному правилу. Так ошибаются, когда переносят привычный расчёт разового процента на несколько шагов. Проверьте первый переход и убедитесь, что процент берётся от значения перед этим шагом.
Для убывания иногда выбирают коэффициент 1 + p/100, потому что воспринимают процент как число, которое нужно прибавить. Но такой коэффициент больше единицы и описывает рост. Проверьте направление: при убывании новое значение должно быть меньше предыдущего, а коэффициент — меньше единицы.
Рост на p%, а затем убывание на p% не возвращают величину к исходной. Причина в том, что второй процент считается от уже увеличенного значения, а не от первоначального. Для проверки достаточно применить оба коэффициента подряд и сравнить результат с начальной величиной.
В электронной таблице формула может ссылаться не на предыдущую строку, если закреплена ссылка или формулу скопировали не туда. Это приводит к повторному расчёту от одного и того же значения либо к пропуску шага. Проверьте несколько формул вручную: в каждой строке должна использоваться величина предыдущего шага.
Перед построением таких моделей нужно уметь вычислять процент от числа и переводить процент в десятичную дробь: например, 7% = 0,07. Для расчётов на компьютере пригодятся формулы электронной таблицы, ссылки на ячейки и копирование формул. Модели роста и убывания помогают разбираться в сложных процентах, изменении численности и других процессах, где очередной результат зависит от предыдущего.
Почему при каждом шаге процент считают от нового значения?
Процентное изменение относится к величине, которая есть непосредственно перед очередным шагом. После роста или убывания эта величина меняется, поэтому меняется и число, составляющее заданный процент. Расчёт от начального значения описывал бы другое правило.
Как выбрать коэффициент для модели убывания?
Из 1 вычтите процент убывания, записанный десятичной дробью: коэффициент равен 1 − p/100. Например, при уменьшении на 12% коэффициент составляет 0,88. Умножение на него оставляет 88% от прежнего значения.
Можно ли рассчитать значение сразу для нескольких шагов?
Да. Если процент и длительность шага не меняются, после n шагов значение равно начальному значению, умноженному на коэффициент в степени n. Для роста это A₀ · (1 + p/100)ⁿ, для убывания — A₀ · (1 − p/100)ⁿ.
Как в электронной таблице продолжить вычисления на следующие шаги?
Запишите начальное значение в отдельную ячейку, а в следующей строке введите формулу, которая умножает предыдущее значение на коэффициент. Скопируйте формулу вниз: относительная ссылка будет сдвигаться к ячейке предыдущей строки. Проверьте первые результаты.
Как определить, через сколько шагов значение достигнет заданного порога?
Последовательно рассчитывайте значения, пока одно из них не достигнет порога или не превысит его. Нужен первый шаг, на котором условие выполняется. Если шаги целые, ответом будет номер этого шага.
§ 21. Моделирование в задаче роста и убывания
