"Информатика. Учебное пособие для учреждений общего среднего образования с русским языком обучения", В. М. Котов, А. И. Лапо, Ю.А. Быкадоров, Е.Н. Войтехович
Полёт тела, брошенного под углом к горизонту, можно описать формулами и исследовать с помощью компьютерной модели. Если пренебречь сопротивлением воздуха, движение удобно разделить на горизонтальное и вертикальное: в первом скорость постоянна, во втором действует ускорение свободного падения. По начальной скорости и углу броска можно найти траекторию, время полёта, наибольшую высоту и дальность, а затем сравнить результаты для разных исходных данных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель полёта — описание движения тела формулами при заданных допущениях, например без учёта сопротивления воздуха. Она заменяет сложное реальное явление более простым, с которым можно выполнять расчёты. Модель нужна, чтобы предсказывать движение и проверять, как оно зависит от исходных данных.
Начальная скорость — скорость тела в момент броска; её задают модулем v₀ и углом α к горизонту. Модуль показывает, насколько быстро движется тело, а угол — в каком направлении его бросили. Эти данные позволяют вычислить движение по горизонтали и вертикали.
Траектория полёта — линия, по которой движется тело; в принятой модели она имеет форму параболы. Каждая точка траектории показывает положение тела в определённый момент. По ней можно оценить высоту и форму полёта.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки приземления. Её обозначают, например, L и измеряют в метрах. Это значение помогает сравнивать броски с разными скоростями и углами.
Движение удобно рассматривать как сумму двух независимых движений, потому что горизонтальная и вертикальная силы в упрощённой модели различаются. По горизонтали ускорения нет, поэтому скорость постоянна. По вертикали действует сила тяжести, и тело получает ускорение g, направленное вниз. Такое разделение позволяет решать задачу двумя простыми уравнениями вместо одного сложного описания.
Начальную скорость раскладывают на две составляющие, как стороны прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит вектор скорости. Если угол α отсчитывается от горизонтали, горизонтальная составляющая равна vₓ = v₀ cos α, а вертикальная — vᵧ₀ = v₀ sin α. Косинус связан с прилежащим катетом, а синус — с противолежащим. Первая составляющая определяет, как быстро тело удаляется по горизонтали, вторая — как оно поднимается и затем опускается.
Координаты находят, подставляя время t в уравнения каждого движения. Горизонтальная координата равна x = v₀ cos α · t, а вертикальная высота — y = v₀ sin α · t − gt²/2. Чтобы получить зависимость высоты от расстояния, из первого уравнения выражают t и подставляют во второе. Получается y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α); квадрат x в этой формуле и задаёт параболическую форму траектории.
Для броска с уровня земли тело приземляется на ту же высоту, с которой стартовало, поэтому в уравнении высоты можно положить y = 0. Ненулевое решение даёт время полёта T = 2v₀ sin α/g, а наибольшая высота достигается, когда вертикальная скорость становится равной нулю: H = v₀² sin² α/(2g). Дальность получают из горизонтального движения: L = v₀ cos α · T = v₀² sin 2α/g. Равенство времени подъёма и спуска следует из симметрии вертикального движения в этой модели.
Математическая модель становится компьютерным экспериментом, когда её формулы записывают в электронной таблице или программе. Сначала задают скорость, угол и ускорение свободного падения, затем рассчитывают x и y для ряда значений времени. По парам координат строят график и меняют один исходный параметр, чтобы увидеть его влияние. Такой опыт не заменяет реальный полёт, но позволяет сравнивать варианты при одинаковых допущениях.
| Величина или этап | Обозначение и формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ | Скорость тела в момент броска |
| Угол броска к горизонту | α | Направление начальной скорости |
| Горизонтальная составляющая скорости | vₓ = v₀ cos α | Скорость движения вдоль горизонта |
| Вертикальная составляющая скорости | vᵧ₀ = v₀ sin α | Начальную скорость подъёма |
| Координата тела по горизонтали | x = v₀ cos α · t | Расстояние от точки броска по горизонтали |
| Координата тела по вертикали | y = v₀ sin α · t − gt²/2 | Высоту тела над точкой броска |
| Время полёта и дальность | T = 2v₀ sin α/g; L = v₀ cos α · T | Время до возвращения на исходную высоту и горизонтальное расстояние |
Сначала определите известные величины и выберите строку с нужной зависимостью. Для координат укажите момент времени, а для дальности сначала найдите общее время полёта. Во всех формулах используйте согласованные единицы: скорость в м/с, время в секундах, расстояние в метрах.
Условие: тело брошено с уровня земли со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. Требуется найти горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости. Угол задан от горизонтали, поэтому для составляющих подходят формулы с косинусом и синусом соответственно.
Ответ: горизонтальная составляющая равна примерно 8,66 м/с, вертикальная — 5 м/с. Проверить расчёт можно по смыслу: при угле 30° большая часть скорости направлена горизонтально, поэтому vₓ больше vᵧ₀.
Условие: тело брошено с уровня земли со скоростью 20 м/с под углом 45°, сопротивлением воздуха пренебречь. Нужно определить время полёта, наибольшую высоту и дальность, приняв g = 9,8 м/с². Поскольку тело возвращается на исходный уровень, время удобно найти из вертикального движения.
Ответ: время полёта — около 2,89 с, максимальная высота — около 10,2 м, дальность — около 40,8 м. Результат времени соответствует возвращению на начальную высоту, а дальность рассчитана по постоянной горизонтальной скорости.
Условие: сравнить траектории при одной начальной скорости и углах 30°, 45° и 60°, затем определить, при каком угле дальность больше. Возьмём скорость 20 м/с и g = 9,8 м/с², как в примере графика. Сравнивать удобнее по формуле дальности и по графикам, построенным из одной и той же модели.
Ответ: в этой модели наибольшая дальность получается при угле 45°. При сравнении в таблице нужно следить, чтобы все углы интерпретировались в градусах и исходная скорость оставалась неизменной.
При разложении скорости иногда меняют местами синус и косинус. Ошибка возникает, если забыть, что угол отсчитывают от горизонтали: горизонтальная сторона прилежит к нему, вертикальная — противолежит. Проверьте себя на угле 0°: горизонтальная скорость должна равняться v₀, а вертикальная — нулю.
Вертикальную скорость порой считают постоянной, как горизонтальную. Это происходит из-за смешения двух независимых движений, но по вертикали действует ускорение g, поэтому vᵧ = vᵧ₀ − gt меняется со временем. Проверьте формулу: при подъёме вертикальная скорость уменьшается и на вершине становится нулевой.
Неверный результат может появиться, если программа ожидает радианы, а угол введён в градусах, или наоборот. Причина в том, что вычислительные функции синуса и косинуса используют заданный режим измерения углов. Перед расчётом проверьте настройки или переведите градусы в радианы по формуле αрад = αград · π/180.
Ещё одна ошибка — воспринимать формулы как точное описание любого настоящего полёта. Модель не учитывает сопротивление воздуха и может не учитывать другие особенности, например ветер или изменение условий движения. Сверьте допущения с условием задачи: если сопротивление существенно, результат модели будет отличаться от реального.
Для работы с моделью нужны координаты и векторы: они помогают задавать положение тела и разделять скорость на составляющие. Синус и косинус связывают угол броска с этими составляющими. Также требуется знать равномерное и равноускоренное движение, чтобы применять формулы координаты и скорости.
Компьютерный эксперимент продолжает изучение электронных таблиц и графиков по данным. Меняя параметры модели, можно исследовать движение и сравнивать вычисленные результаты. Эти приёмы пригодятся при решении задач физики и анализе других процессов.
Почему траектория тела, брошенного под углом, имеет форму параболы?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали высота зависит от времени квадратично: y = v₀ sin α · t − gt²/2. Если исключить время с помощью x = v₀ cos α · t, получится зависимость y от x с членом x² — уравнение параболы.
Как понять, какую составляющую скорости находить через синус, а какую через косинус?
Угол α отсчитывают от горизонтали. Горизонтальная составляющая прилежит к этому углу, поэтому vₓ = v₀ cos α; вертикальная противолежит ему, поэтому vᵧ = v₀ sin α.
Почему горизонтальная скорость в модели не меняется?
В модели сопротивлением воздуха пренебрегают, поэтому на тело не действует горизонтальная сила. Горизонтального ускорения нет, и скорость vₓ остаётся постоянной.
Как определить дальность полёта по формулам?
Сначала находят время полёта T = 2v₀ sin α/g, поскольку тело возвращается на исходную высоту. Затем умножают горизонтальную скорость на это время: L = v₀ cos α · T, или L = v₀² sin 2α/g.
Что изменится в расчётах, если учесть сопротивление воздуха?
Сопротивление будет влиять на движение, в том числе уменьшать горизонтальную скорость, поэтому простые формулы модели уже не дадут точного результата. Понадобится более сложная модель, учитывающая силу сопротивления и её зависимость от скорости.
§ 24. Моделирование в задаче полета тела, брошенного под углом к горизонту
