"Информатика (углублённый уровень)", Калинин И.А., Самылкина Н.Н.
Статистическая закономерность — устойчивое соотношение, которое обнаруживается, когда случайное явление наблюдают много раз. Она помогает оценивать вероятность события по результатам испытаний, особенно если вычислить её теоретически трудно. Для этого считают, сколько раз событие произошло, и сравнивают полученное число с общим количеством испытаний. В небольшой серии доля исходов может сильно колебаться, а при большом числе наблюдений обычно становится устойчивее. Это не позволяет точно предсказать следующий исход.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Статистическая закономерность — устойчивое соотношение, выявляемое при многократном наблюдении случайных явлений. Она не обязана проявляться в каждом отдельном результате: её ищут в общей картине многих испытаний. Понятие помогает описывать повторяющиеся случайные события и находить в данных устойчивые доли.
Частота события — число испытаний, в которых событие произошло. Если при 20 бросках монеты орёл появился 11 раз, частота выпадения орла равна 11. По частоте можно понять, сколько раз событие случилось, но для сравнения серий разного размера одного этого числа недостаточно.
Относительная частота события — отношение его частоты к общему числу испытаний: частота делится на число всех испытаний. Она показывает долю испытаний с данным исходом и принимает значение от 0 до 1 включительно. Эта величина позволяет сопоставлять серии, даже если в них проведено разное число испытаний.
Закон больших чисел — закономерность, согласно которой при увеличении числа испытаний относительная частота события обычно приближается к его вероятности. Речь идёт о тенденции, а не о гарантии точного совпадения для любой серии. Закон объясняет, почему повторные наблюдения помогают получать более устойчивые оценки вероятностей.
Результат одного случайного испытания сам по себе не показывает, что происходит обычно. Например, один бросок монеты может дать орла, но по нему нельзя заключить, что орёл выпадает чаще решки. Только повторения дают материал для сравнения: становится видно, как часто встречаются разные исходы и сохраняются ли их доли. Так отдельные случайные результаты складываются в картину, в которой можно искать устойчивое соотношение.
Чтобы подсчитать частоту, отмечают каждый случай наступления события и складывают такие случаи. Затем эту частоту делят на общее количество испытаний; полученное число и есть относительная частота. Её нельзя сделать меньше нуля, поскольку число наступлений неотрицательно, и нельзя получить больше единицы, поскольку событие не может произойти чаще, чем проведено испытаний. Если событие произошло во всех испытаниях, относительная частота равна 1, а если ни в одном — 0.
В небольшой серии один или два случайных исхода заметно меняют долю события. Так, при десяти испытаниях изменение частоты на одно событие меняет относительную частоту на 0,1. При сотнях испытаний тот же единичный сдвиг влияет на долю гораздо меньше. Поэтому в большой серии относительная частота обычно колеблется менее резко и становится устойчивее, хотя отдельные отклонения всё равно возможны.
Если вероятность трудно вычислить с помощью теоретической модели, её можно приблизительно оценить по наблюдениям. Для этого проводят серию испытаний, находят частоту события и делят её на общее число испытаний. Полученная относительная частота служит оценкой вероятности, а размер серии помогает судить о её надёжности. Чем больше наблюдений и чем внимательнее они собраны, тем полезнее такая оценка.
Устойчивость долей в серии не делает случайные результаты заранее известными. Даже если событие часто происходило в предыдущих испытаниях, это не определяет исход следующего, если условия испытаний не изменились и исходы остаются случайными. Статистическая закономерность описывает поведение совокупности результатов, а не расписание отдельных событий. Поэтому по ней можно оценить вероятность, но нельзя гарантировать конкретный исход.
| Характеристика | Частота | Относительная частота |
|---|---|---|
| Что показывает | Сколько раз событие произошло | Какую долю испытаний составили случаи события |
| Как вычисляется | Подсчитывают число наступлений события | Частоту делят на общее число испытаний |
| Возможные значения | Целое число от 0 до числа испытаний | Число от 0 до 1 включительно |
| Зависимость от числа испытаний | Может увеличиваться с ростом серии | В большой серии обычно становится устойчивее |
| Для чего используется | Для подсчёта случаев наступления события | Для сравнения серий и приближённой оценки вероятности |
Сначала определите, требуется ли узнать число случаев или долю от всех испытаний: в первом случае нужна частота, во втором — относительная частота. Для вычисления доли используйте общее число испытаний, а не число случаев, когда событие не произошло. При сравнении относительных частот учитывайте также размер серий: большая серия обычно даёт более устойчивую оценку.
Задача 1. Монету подбросили 20 раз, орёл выпал 11 раз. Найдите частоту и относительную частоту выпадения орла. Сначала выделим событие: «выпал орёл», а затем используем данные о числе его наступлений и всех испытаниях. Важно не перепутать, что частота — это количество, а относительная частота — доля.
Ответ: частота равна 11, относительная частота — 0,55, или 55%. Это доля орлов именно в данной серии из 20 бросков. Она не обязана совпадать с теоретической вероятностью выпадения орла.
Задача 2. В двух сериях бросков монеты получили относительные частоты орла 0,4 и 0,6. Объясните, почему это не опровергает равновероятность сторон монеты. Здесь сравниваются результаты конечных серий, а не теоретические вероятности исходов. Случайные колебания могут привести к тому, что доля орлов в одной серии меньше, а в другой больше половины.
Ответ: такие значения не опровергают равновероятность сторон. Они показывают обычное возможное расхождение результатов серий с теоретическим ожиданием. Чтобы оценка стала устойчивее, нужно провести больше бросков.
Задача 3. В партии из 100 изделий обнаружили 4 бракованных, а в партии из 1000 изделий — 35. Оцените долю брака и укажите, какая оценка надёжнее. Сами количества брака сравнивать напрямую нельзя: партии имеют разный размер, поэтому для каждой нужно найти долю от общего числа изделий. Затем учитываем, что большая партия содержит больше наблюдений.
Ответ: оценка доли брака составляет 4% для первой партии и 3,5% для второй. Надёжнее обычно оценка по партии из 1000 изделий, поскольку она основана на большем числе наблюдений и меньше зависит от случайных колебаний. Однако сама по себе большая партия не гарантирует полного отсутствия ошибок в оценке.
Относительную частоту принимают за точную вероятность. Так происходит, потому что обе величины выражаются числом от 0 до 1 и могут быть близки. Но относительная частота получена в конкретной конечной серии, поэтому она может отличаться от теоретической вероятности. Проверьте себя: уточните, идёт ли речь о модели или о фактически проведённых испытаниях.
Ожидают, что малая серия обязательно даст результат, близкий к теории. Это заблуждение возникает, если воспринимать вероятность как обещание для каждого небольшого набора испытаний. Случайные отклонения могут быть значительными, особенно при малом числе наблюдений. Проверьте вывод: не делаете ли вы общий прогноз по слишком короткой серии?
Делят частоту на число испытаний, в которых событие не произошло. Знаменатель в относительной частоте — общее число испытаний, а не число противоположных исходов. Ошибка обычно появляется при невнимательном чтении условия. Для проверки сложите число наступлений события и число ненаступлений: их сумма должна дать общее число испытаний.
Считают, что закономерность предсказывает следующий исход. Устойчивость доли в серии ошибочно переносят на одно отдельное испытание. Но относительная частота описывает уже собранные данные, а следующий результат остаётся случайным. Проверьте себя: формулируйте вывод как оценку доли или вероятности, а не как гарантию будущего исхода.
Для работы с относительной частотой нужно понимать, что такое случайное испытание, событие и вероятность: эти понятия помогают правильно поставить задачу и истолковать результат. Статистические закономерности применяют при анализе данных, оценке надёжности изделий и обработке опросов, где приходится делать выводы по наблюдаемым результатам. Они связывают теорию вероятностей с практической статистикой: данные превращаются в оценки, которые можно сравнивать и проверять. Позже эти идеи пригодятся при изучении вероятностных моделей и методов обработки наблюдений.
Чем относительная частота отличается от вероятности?
Вероятность описывает шанс события в модели или теоретически заданной ситуации. Относительная частота — доля случаев, в которых событие произошло в уже проведённой серии. В конечной серии она может отличаться от вероятности.
Почему результаты серии испытаний могут не совпасть с теоретическим ожиданием?
Каждое испытание случайно, поэтому в конечной серии возможны отклонения от ожидаемой доли. Особенно заметными они могут быть, если испытаний мало. Увеличение числа наблюдений обычно делает относительную частоту устойчивее, но не гарантирует точного совпадения.
Как вычислить относительную частоту события?
Нужно разделить частоту события — число испытаний, в которых оно произошло, — на общее число испытаний. Например, если событие произошло 11 раз в 20 испытаниях, относительная частота равна 11 / 20 = 0,55.
Почему для выявления статистической закономерности нужны многочисленные наблюдения?
В малой серии несколько случайных исходов могут сильно изменить долю события. При увеличении числа испытаний отдельные колебания оказывают меньшее влияние на общую относительную частоту. Поэтому устойчивые соотношения заметнее в больших сериях.
Можно ли по статистической закономерности предсказать следующий исход?
Нет, статистическая закономерность описывает доли исходов в серии, а не результат конкретного испытания. Следующий исход остаётся случайным. По наблюдениям можно оценивать вероятность, но нельзя гарантировать, что произойдёт именно этот исход.
§ 22. Статистические закономерности
