§ 5. Логические элементы и схемы. Типовые логические устройства компьютера

Определения и обозначения

Логический элемент — электронное устройство, выполняющее элементарную логическую операцию над сигналами, представленными значениями 0 и 1. Например, элемент И проверяет, равны ли единице все его входы. Такие элементы служат простейшими строительными блоками цифровых устройств.

Логическая схема — соединение логических элементов, которое преобразует входные сигналы в выходные по заданному правилу. Выход одного элемента может поступать на вход другого, поэтому схема выполняет выражение из нескольких операций. Это понятие нужно, чтобы описывать работу устройства целиком, а не только отдельной операции.

Триггер — логическое устройство с двумя устойчивыми состояниями, способное хранить один бит информации. Его состояние можно трактовать как 0 или 1. Триггеры нужны для хранения данных и промежуточных результатов, когда значение требуется сохранить после изменения входных сигналов.

Сумматор — логическое устройство, выполняющее сложение двоичных чисел и формирующее биты суммы и переноса. Перенос появляется, если сложение в разряде даёт значение больше 1. Сумматор нужен процессору для выполнения сложения, в том числе над многоразрядными числами.

Как это устроено

В компьютере значения 0 и 1 обычно задаются разными уровнями электрического напряжения. Низкий уровень принимают за 0, а высокий — за 1; конкретные границы зависят от используемой электронной технологии. Вместо одного точного напряжения применяют диапазоны: так схема может распознать сигнал правильно, даже если на нём есть небольшая помеха. Два устойчиво различимых уровня позволяют строить устройства, которые надёжно передают и обрабатывают данные.

У логического элемента есть один или несколько входов и выход. На входы поступают сигналы, а выходное значение определяется выбранной операцией и правилами из таблицы истинности. Например, для элемента И выход становится равным 1, только если все входы единичные. Таблица нужна потому, что она описывает поведение элемента для каждого возможного набора входов и позволяет проверить результат без догадок.

Сложное выражение можно разделить на простые операции и выполнить их последовательно. Например, в выражении ¬A ∧ B сначала инвертируют A элементом НЕ, а затем результат вместе с B подают на элемент И. Выход первого элемента становится входом второго, поэтому порядок вычислений сохраняется и в самой схеме. Такой способ позволяет собирать из простых блоков устройства с более сложными правилами работы.

Обычная комбинационная схема определяет выход текущими входными сигналами. Триггер отличается тем, что его выходы связаны с входами: эта обратная связь поддерживает одно из двух устойчивых состояний. Поэтому после переключения триггер продолжает выдавать сохранённое значение, даже если управляющий сигнал изменился. Новое состояние устанавливается при соответствующем воздействии на входы, а до этого схема удерживает бит.

Сумматор получает биты слагаемых и, в многоразрядном случае, перенос из предыдущего разряда. По этим значениям он вычисляет бит суммы и перенос, который передаётся дальше. Для двух входов A и B без входного переноса сумма равна 1, когда входы различаются, то есть A ⊕ B; перенос равен 1, только если A = 1 и B = 1, то есть A ∧ B. Перенос необходим, потому что два единичных бита дают двоичную запись 10: ноль остаётся в текущем разряде, а единица переходит в следующий.

Основные логические элементы и их работа

Чтобы найти выход для конкретных входных значений, выберите соответствующее правило и примените его к строке таблицы истинности. Для схемы из нескольких элементов сначала определите результаты промежуточных операций, а затем вычислите итоговый выход. Обратите внимание: И-НЕ и ИЛИ-НЕ инвертируют результат соответствующих операций.

Разбор задач

Задача 1. Заполнить таблицу истинности для элемента ИЛИ с двумя входами A и B. Нужно учесть все варианты значений на входах, а не только случаи, когда на выходе получается 1. У элемента ИЛИ выход единичный, если хотя бы один вход равен 1.

1. У двух входов есть четыре сочетания: 00, 01, 10 и 11. Это все возможные пары из нулей и единиц.
2. Для пары 00 оба входа нулевые, поэтому условие «хотя бы один равен 1» не выполнено; выход равен 0. Для 01, 10 и 11 хотя бы один вход равен 1, значит выход во всех трёх случаях равен 1.

Ответ: A, B → выход: 00 → 0; 01 → 1; 10 → 1; 11 → 1. Проверка правила по каждой строке помогает не перепутать ИЛИ с И: при И единица появилась бы только в строке 11.

Задача 2. Составить таблицу истинности схемы, в которой сигнал A инвертируется, а результат вместе с B поступает на элемент И. Итоговое выражение — ¬A ∧ B. Сначала нужно определить выход НЕ, иначе легко по ошибке подать на элемент И исходный A.

1. Перечислим входные пары: 00, 01, 10 и 11. Для каждой пары найдём промежуточное значение ¬A: оно равно 1, когда A = 0, и 0, когда A = 1.
2. Теперь применим И к ¬A и B. Для 00 получаем 1 ∧ 0 = 0, для 01 — 1 ∧ 1 = 1, для 10 — 0 ∧ 0 = 0, для 11 — 0 ∧ 1 = 0.

Ответ: для входов 00, 01, 10, 11 выход схемы равен соответственно 0, 1, 0, 0. Промежуточный столбец ¬A показывает, как сигнал изменяется до поступления на элемент И. Поэтому можно проверить, что в финальном вычислении использовано именно инвертированное значение.

Задача 3. Для сложения двух однобитных чисел A и B построить таблицу истинности суммы и переноса, а затем определить логические операции. Здесь нет входного переноса из предыдущего разряда, поэтому рассматриваются только A и B. В каждой строке надо записать двоичный результат сложения.

1. Для 00 сумма равна 0, переноса нет; для 01 и 10 сумма равна 1, переноса тоже нет. Для 11 результат сложения равен 10₂: бит суммы в текущем разряде равен 0, а перенос — 1.
2. Сравним столбец суммы с таблицами операций: он равен 1 только при разных входах, значит это исключающее ИЛИ, A ⊕ B. Перенос равен 1 только в строке 11, следовательно, он задаётся операцией И, A ∧ B.

Ответ: для входов 00, 01, 10, 11 сумма равна 0, 1, 1, 0, а перенос — 0, 0, 0, 1. Так как перенос не входит в сумму текущего разряда, его записывают отдельно и передают в следующий разряд при сложении более длинных чисел.

Типичные ошибки

Считать, что логический элемент обязательно имеет только один вход, — ошибка: у НЕ один вход, но И и ИЛИ обычно принимают несколько. Такое заблуждение возникает, если переносить устройство простейшего элемента на все остальные. Проверяйте обозначения входов в условии и правило элемента: для И и ИЛИ может быть перечислено больше двух сигналов. При этом правило сохраняется: учитываются все входы, а не только одна пара.

Путать И и ИЛИ — значит применять неверное условие для единичного выхода. Возможно, названия операций запоминаются без проверки их смысла. Для И требуются единицы на всех входах, а для ИЛИ достаточно хотя бы одной единицы. Проверьте себя на наборе 10: И выдаёт 0, а ИЛИ — 1.

Если забыть, что НЕ меняет сигнал на противоположный, в схеме вместо ¬A используют исходное A. Это часто случается, когда сразу считают итог, не выделяя промежуточные результаты. Запишите отдельный столбец инверсии: 0 превращается в 1, а 1 — в 0. Затем используйте именно эти значения на следующем элементе.

Считать триггер обычной комбинационной схемой — значит предположить, что его выход зависит только от входов в текущий момент. Ошибка возникает из-за того, что и у триггера, и у комбинационной схемы есть входы и выходы. Но обратная связь позволяет триггеру сохранять предыдущее состояние, поэтому одинаковые текущие входы могут не описывать всю историю его работы. При анализе учитывайте не только входные сигналы, но и состояние, в котором триггер находился ранее.

Связь с другими темами

Для понимания логических схем нужны двоичное представление информации и значения 0 и 1, а также знакомство с логическими операциями. Таблицы истинности и логические выражения помогают разбирать алгоритмы с условиями: по ним можно проверить, при каких данных выполняется ветвь программы. Сами схемы служат основой аппаратных узлов компьютера — процессора, оперативной памяти и других устройств. Так логические правила связывают программную обработку данных с работой электроники.

Что запомнить

• Логический элемент выполняет логическую операцию над двоичными сигналами.
• Работу элемента задаёт таблица истинности.
• Сложную логическую схему можно представить как соединение простых элементов.
• Элемент НЕ инвертирует сигнал.
• Триггер хранит один бит информации.
• Сумматор формирует результат сложения и перенос между разрядами.