Числовой способ

Определения и обозначения

Числовой способ представления информации — представление сведений с помощью чисел и правил их записи. Числами можно обозначать количество объектов, код буквы, цвет пикселя или громкость звука. Это нужно, чтобы хранить и обрабатывать разные данные по единым правилам.

Цифра — знак, используемый для записи чисел в определённой системе счисления. Например, 0–9 — цифры десятичной системы, а 0 и 1 — двоичной. Понятие цифры помогает отличать отдельные знаки от значения всей записи.

Система счисления — совокупность цифр и правил записи чисел. У разных систем могут быть разные основания и разные способы обозначения одного значения. Знание системы счисления позволяет правильно читать, сравнивать и преобразовывать записи.

Основание системы счисления — количество цифр, используемых в этой системе. В десятичной системе основание равно 10, а в двоичной — 2. Основание определяет, какие цифры допустимы и как изменяется значение разрядов.

Как это устроено

Числа позволяют представлять не только количества, потому что любому объекту или свойству можно назначить числовой код. Например, буквам соответствуют коды, пикселю — числовые значения цвета, а звуку — последовательность измеренных значений. Компьютер работает именно с такими кодами, поэтому один числовой способ подходит для текста, изображений, музыки и других данных.

Число и цифра — не одно и то же: цифра является знаком, а число выражает значение. Число 29 состоит из цифр 2 и 9, но само оно не сводится к простой сумме этих знаков. Одно значение можно записать по-разному: 29₁₀ = 11101₂, потому что меняются правила системы, а не само количество.

Основание задаёт набор допустимых цифр. Если основание равно b, используются цифры от 0 до b − 1: в восьмеричной системе это 0–7, а в шестнадцатеричной — 0–9 и A–F, где A означает 10. Поэтому запись 128₂ неверна: цифры 2 в двоичной системе нет.

В позиционной системе место цифры называется разрядом и определяет её вклад в число. Справа налево разряды соответствуют степеням основания: b⁰, b¹, b² и так далее. Поэтому в записи 407₁₀ цифра 4 означает четыре сотни, 0 — отсутствие десятков, а 7 — семь единиц.

Человек обычно использует десятичную систему, потому что она закрепилась в повседневном счёте. Компьютеру удобнее двоичная система: электронная схема может находиться в одном из двух устойчивых состояний, которые обозначают 0 и 1. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы применяются как более короткая и удобная для человека запись двоичных данных.

Сравнение распространённых систем счисления

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите основание по нижнему индексу или по контексту. Затем проверьте, допустимы ли все цифры, и при необходимости разложите запись по степеням основания. Примеры в строке разложения показывают, как получить значение числа.

В шестнадцатеричной системе буквы A–F заменяют значения от 10 до 15. Такая запись особенно удобна для двоичных данных: одна шестнадцатеричная цифра соответствует группе из четырёх двоичных разрядов.

Разбор задач

Разложение числа 407 в десятичной системе

Условие: разложить число 407₁₀ по разрядам и объяснить значение каждой цифры. Основание системы равно 10, поэтому разряды связаны со степенями 10. Начинаем с единиц справа и двигаемся влево.

1. Цифра 7 стоит в разряде единиц, поэтому её вклад равен 7·10⁰ = 7.
2. Цифра 0 стоит в разряде десятков, поэтому её вклад равен 0·10¹ = 0.
3. Цифра 4 стоит в разряде сотен, поэтому её вклад равен 4·10² = 400.
4. Складываем вклады: 407 = 4·10² + 0·10¹ + 7·10⁰ = 400 + 0 + 7.

Ответ: 4 обозначает четыре сотни, 0 — ноль десятков, 7 — семь единиц; разложение равно 400 + 0 + 7.

Перевод числа 29₁₀ в двоичную систему

Условие: перевести 29 из десятичной системы в двоичную. При делении на 2 каждый остаток может быть только 0 или 1. Первый остаток относится к младшему разряду, поэтому в конце остатки нужно прочитать снизу вверх.

1. 29 : 2 = 14, остаток 1.
2. 14 : 2 = 7, остаток 0.
3. 7 : 2 = 3, остаток 1.
4. 3 : 2 = 1, остаток 1; затем 1 : 2 = 0, остаток 1.
5. Читаем остатки от последнего к первому: 11101₂.

Ответ: 29₁₀ = 11101₂. Проверка: 1·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 8 + 4 + 1 = 29.

Перевод числа 3A₁₆

Условие: перевести 3A из шестнадцатеричной системы в десятичную и двоичную. Буква A имеет значение 10, а основание системы равно 16. Для двоичной записи удобно заменить каждую шестнадцатеричную цифру четырьмя двоичными разрядами.

1. Раскладываем запись по разрядам: 3A₁₆ = 3·16¹ + 10·16⁰.
2. Вычисляем значение: 3·16 + 10 = 48 + 10 = 58, значит 3A₁₆ = 58₁₀.
3. Заменяем 3 на 0011, а A на 1010 и соединяем группы: 0011 1010₂.

Ответ: 3A₁₆ = 58₁₀ = 00111010₂. Начальные нули можно убрать без изменения значения, поэтому также допустима запись 111010₂.

Типичные ошибки

Путают цифру и число. Ошибка появляется, когда отдельный знак считают самостоятельным числом или называют число одной цифрой. Проверяйте себя так: цифра является элементом записи, а число может состоять из нескольких цифр и имеет значение.

Используют недопустимую цифру. Например, запись 102₂ неверна, потому что в двоичной системе разрешены только 0 и 1. Сначала назовите основание, а затем убедитесь, что каждая цифра меньше основания.

Читают остатки в прямом порядке. Так получают перевёрнутую запись, поскольку первое деление на основание находит младший разряд. Записывайте остатки столбиком и начинайте чтение с последнего полученного остатка.

Не учитывают разряды. При сложении цифр как обычных чисел теряется их позиционное значение: в 407 цифра 4 означает 400, а не просто 4. Для проверки разложите запись как сумму произведений цифр на степени основания.

Связь с другими темами

До изучения числового способа нужны натуральные числа, степени и деление с остатком. Эти знания помогают понимать разряды и выполнять перевод между системами счисления. Без них трудно проверить правильность результата.

Тема связана с двоичным кодированием и устройством компьютера. Представление данных нулями и единицами объясняет, как электронные схемы хранят и обрабатывают информацию. Восьмеричная и шестнадцатеричная записи делают такие коды удобнее для чтения.

Числовое представление используется при кодировании текста, изображений и звука. Буквы получают числовые коды, цвет задаётся числами, а звук описывается последовательностью измеренных значений. Поэтому системы счисления являются основой работы с разными видами информации.

Что запомнить

• Числовой способ представляет информацию с помощью чисел и правил их записи.
• Цифра — знак, а число — значение или запись, составленная из цифр.
• Основание системы счисления показывает количество используемых цифр.
• В позиционной системе значение цифры зависит от её разряда.
• Компьютер хранит и обрабатывает данные преимущественно в двоичной системе.
• При переводе делением остатки читают снизу вверх.
• Одно и то же число может иметь разные записи в разных системах счисления.