"Информатика (в 2 частях)", Павлов Д.И., Полежаева О.А., Коробкова Л.Н. и др./ Под ред. Горячева А.В.
Множество — это набор объектов, объединённых общим признаком. С помощью множеств удобно описывать числа, предметы и другие данные, сравнивать группы объектов и находить общие или отличающиеся элементы. Для работы с ними важно различать принадлежность элемента и включение одного множества в другое. Также нужно знать, как задают множества и выполняют операции объединения, пересечения и разности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, объединённых по некоторому признаку. Например, {2, 4, 6} — множество чётных чисел из этого набора, а {карандаш, линейка, ластик} — множество школьных принадлежностей. Общий признак помогает понять, почему эти объекты рассматривают вместе. Множества нужны, чтобы описывать группы объектов и сравнивать их.
Элемент множества — отдельный объект, который входит в это множество. Запись 3 ∈ A читают «три принадлежит A», а 5 ∉ A — «пять не принадлежит A». Эти знаки позволяют коротко проверять, входит ли конкретный объект в заданную группу. Например, если A = {1, 2, 3}, то 2 ∈ A, но 5 ∉ A.
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают ∅ или фигурными скобками без элементов: {}. Например, множество натуральных чисел, меньших 1, пусто, если натуральные числа начинают с 1. Пустое множество удобно обозначать отдельно, чтобы не спутать отсутствие элементов с множеством, которое просто пока не перечислили.
Подмножество — множество, каждый элемент которого входит в другое множество. Запись A ⊆ B означает, что A является подмножеством B; например, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}. Подмножества могут быть равны: если в A и B входят одни и те же элементы, то A = B. Если в B есть хотя бы один элемент, которого нет в A, множества не равны, хотя A всё ещё может быть подмножеством B.
Множество можно задать перечислением элементов, например A = {1, 3, 5}, или описать общим свойством: «нечётные числа меньше 6». Эти способы удобны в разных ситуациях: небольшой набор проще перечислить, а для большой группы короче указать признак. Описание должно позволять однозначно решить, входит ли любой рассматриваемый объект в множество. Если признак расплывчатый, разные люди могут получить разные составы множества.
Порядок записи элементов и их повторение не меняют множество, потому что множество отвечает на вопрос «какие объекты входят?», а не «в каком порядке они стоят и сколько раз записаны?». Например, {1, 2, 3}, {3, 2, 1} и {1, 2, 2, 3} задают одно множество. Это отличает множество от списка, где порядок или повторения могут быть существенными. Поэтому при перечислении удобнее записывать каждый элемент один раз.
Чтобы проверить, равны ли A и B, проверяют состав обоих множеств: каждый элемент A должен входить в B, и каждый элемент B — в A. Для включения A ⊆ B достаточно проверить все элементы A: каждый из них должен оказаться в B. Например, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}, но эти множества не равны, поскольку 3 есть только во втором. Такая проверка по элементам превращает сравнение наборов в последовательную проверку отдельных объектов.
Операции над множествами строят по условиям принадлежности. В объединение A ∪ B берут элементы, принадлежащие A или B; в пересечение A ∩ B — принадлежащие и A, и B; в разность A \ B — принадлежащие A, но не B. Дополнение множества A рассматривают только относительно заданного универсального множества U: в него входят элементы U, не принадлежащие A. Условия помогают не перепутать операции даже тогда, когда множества заданы длинными списками.
Диаграммы Эйлера—Венна показывают множества в виде замкнутых областей. Если одно множество включено в другое, его область рисуют внутри области большего множества; пересечение изображают общей частью областей. Для объединения выделяют обе области, а для разности — часть первой, не попавшую во вторую. Диаграмма наглядна, потому что позволяет увидеть отношения и операции сразу, но принадлежность конкретных элементов всё равно определяется условием задачи.
| Операция | Обозначение | Условие принадлежности элемента | Смысл на диаграмме |
|---|---|---|---|
| Объединение множеств | A ∪ B | x ∈ A или x ∈ B (в том числе в обоих) | Вся область A и вся область B |
| Пересечение множеств | A ∩ B | x ∈ A и x ∈ B | Общая часть областей |
| Разность множеств | A \ B | x ∈ A и x ∉ B | Часть A вне области B |
| Дополнение множества при заданном универсальном множестве | U \ A | x ∈ U и x ∉ A | Часть U за пределами A |
| Пустое множество | ∅ или {} | Ни один элемент не принадлежит множеству | Область без элементов |
Сначала прочитайте условие принадлежности в строке таблицы, а затем примените его к каждому элементу исходных множеств. На диаграмме можно проверить результат: например, у объединения должны быть выделены обе области, а у пересечения — только их общая часть.
Задача 1. Записать множество делителей числа 12 перечислением и определить, принадлежат ли ему числа 3, 5 и 12. Делитель — натуральное число, на которое 12 делится без остатка. Будем проверять числа от 1 до 12, чтобы не пропустить делители.
Ответ: D = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; 3 ∈ D, 5 ∉ D, 12 ∈ D. Проверка делением подтверждает вывод: 12 делится на 3 и на 12 без остатка, но не делится на 5.
Задача 2. Для A = {1, 2, 3, 4} и B = {3, 4, 5} найти A ∪ B, A ∩ B и A \ B. Сначала выпишем общие элементы, а затем используем определения операций. Такой порядок помогает отличить элементы, которые встречаются в обоих множествах, от тех, которые встречаются только в одном.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3, 4}, A \ B = {1, 2}. Числа 3 и 4 нельзя включить в разность, потому что они входят в B. Число 5, наоборот, входит в объединение, но не в разность A \ B, так как не принадлежит A.
Задача 3. В классе 20 учеников, 12 изучают английский язык, 9 — немецкий, а 5 изучают оба языка. Нужно узнать, сколько учеников изучают хотя бы один язык и сколько не изучают ни один. Если просто сложить 12 и 9, пять учеников, изучающих оба языка, будут учтены дважды.
Ответ: 16 учеников изучают хотя бы один язык, 4 не изучают ни один. Вычитание пересечения необходимо именно потому, что общие ученики сначала попали в счёт английского, а затем ещё раз — немецкого. Итоговые группы вместе составляют все 20 человек.
Путают принадлежность элемента и включение множеств. Например, запись 3 ⊆ A неверна, если 3 — число, а не множество: знак ⊆ ставят между множествами, а для числа используют ∈. Ошибка возникает из-за того, что оба знака описывают связь с множеством. Проверьте, что стоит слева: отдельный объект или целая группа объектов.
Считают, что порядок элементов или повторная запись меняют множество. Такое впечатление возникает, если воспринимать запись как список, но множество хранит только состав элементов. Сравните записи после удаления повторов и перестановки элементов: если состав одинаков, множества равны. Например, {а, б, а} = {б, а}.
При нахождении объединения оставляют только общие элементы, то есть фактически находят пересечение. Это случается, когда слово «объединение» связывают с объединением общих частей. Проверьте каждый элемент: для A ∪ B достаточно, чтобы он входил хотя бы в одно множество, а для A ∩ B он должен входить в оба.
В задачах на количество элементов объединения иногда складывают размеры двух множеств без поправки на пересечение. Общие элементы тогда считают дважды, ведь они входят и в первое, и во второе множество. Чтобы проверить подсчёт, отдельно найдите число общих элементов и вычтите его из суммы: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Если множества не пересекаются, вычитать нечего.
Для работы с множествами нужны умение распознавать числовые и предметные объекты, читать математические обозначения и выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки помогают задавать множества, проверять принадлежность и решать задачи на количество элементов. Далее множества связываются с логическими операциями, диаграммами, вероятностью и обработкой данных. В информатике идеи множеств применяют для описания данных, классификации объектов и работы с базами данных.
Чем множество отличается от обычного списка объектов?
В списке могут быть важны порядок объектов и повторения, а в множестве — только то, какие элементы в него входят. Например, {1, 2, 2} и {2, 1} задают одно и то же множество.
Можно ли считать запись с повторяющимися элементами другим множеством?
Нет, повторная запись элемента не меняет множество: каждый элемент учитывается один раз. Поэтому {а, б, а} и {а, б} — одно и то же множество.
Почему пустое множество является подмножеством любого множества?
Чтобы множество было подмножеством другого, каждый его элемент должен входить в другое множество. У пустого множества элементов нет, поэтому нет и элемента, который нарушал бы это условие.
Как не перепутать объединение и пересечение?
Объединение включает элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств. Пересечение включает только те элементы, которые есть в каждом из них.
Как определить число элементов объединения двух множеств?
Сложите число элементов первого и второго множеств, а затем вычтите число общих элементов. Общая часть иначе была бы посчитана дважды: по одному разу в каждом множестве.
8. Множества
