7. Части целого

Определения и обозначения

Целое — это объект или совокупность объектов, относительно которых рассматривают отдельные части. Например, целым может быть набор файлов, а его частями — изображения и текстовые документы. Выбрать целое нужно до вычислений: от этого зависит, с чем сравнивают выбранную часть.

Доля — часть целого, выраженная по отношению к нему. Если в группе из 12 человек 3 занимаются шахматами, их доля составляет 3/12, то есть ¼ группы. Доля помогает сравнивать части целых разных размеров и показывает, насколько велика часть именно относительно выбранного целого.

Процент — одна сотая часть целого. Проценты записывают знаком %: например, 25% означает 25/100, или 0,25 целого. Такая запись удобна для сравнения долей и описания результатов, поскольку все процентные значения имеют общий знаменатель — 100.

Круговая диаграмма — изображение целого в виде круга, разделённого на секторы. Каждый сектор соответствует одной части, а его размер показывает долю этой части в целом. По диаграмме удобно быстро сравнить части, не читая длинный список чисел.

Как это устроено

Выделяя части, мы описываем состав целого: например, узнаём, сколько в наборе файлов каждого типа. Это помогает сравнить элементы даже тогда, когда целые имеют разный размер. Простого сравнения чисел частей для этого недостаточно: 10 файлов — большая часть от набора из 20, но небольшая от набора из 200. Поэтому часть соотносят со всем целым.

Долю находят делением величины части на величину целого, потому что так определяется, сколько целого приходится на эту часть. Если 4 метра ленты взяты из 10 метров, доля равна 4 : 10 = 0,4. При делении метры сокращаются, поэтому результат не зависит от единиц измерения: отношение 4 м к 10 м такое же, как 400 см к 1000 см. Главное — измерять часть и целое в одинаковых единицах.

Доля и процент описывают одно и то же отношение, но записываются по-разному. Чтобы перейти от дробной доли к процентам, её умножают на 100: например, 0,3 = 30/100 = 30%. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, число процентов делят на 100: 15% = 0,15. Такой переход позволяет выбирать удобную запись для вычислений.

Если известны целое и доля, величину части находят умножением: целое · доля. Например, 20% от 50 — это 50 · 0,2 = 10. Если известны часть и её доля, целое восстанавливают делением: часть : доля. Это следует из того, что часть получается умножением целого на долю, а обратное действие к умножению — деление.

В круговой диаграмме весь круг представляет целое, то есть 100%, а отдельный сектор — одну из его частей. Секторы должны вместе заполнить круг, поэтому доли всех частей складываются в единицу, или 100%. Если сумма меньше или больше, стоит проверить, не пропущена ли часть, не посчитана ли она дважды и согласуются ли исходные данные.

Представление части целого

В таблице собраны основные случаи: сначала определи, что известно, и выбери соответствующее правило. Долю или процент удобно записывать десятичной дробью, если дальше нужно умножать или делить. После вычисления проверь, соответствует ли ответ смыслу задачи.

Разбор задач

Задача 1. В группе 25 учеников, 10 из них выбрали информатику любимым предметом. Найдём долю и процент таких учеников. Сначала сравним число выбравших предмет со всем числом учеников, затем запишем полученную долю в сотых.

1. Найдём долю: 10 : 25 = 0,4.
2. Переведём долю в проценты: 0,4 · 100% = 40%.
3. Проверим смысл: 40% меньше половины группы, а 10 учеников меньше половины от 25.

Ответ: доля равна 0,4, или 40%.

Задача 2. В наборе из 80 файлов 15% составляют изображения. Требуется узнать количество изображений. Процент нужно сначала представить десятичной дробью, потому что часть находят умножением целого на долю. Затем проверим, что результат меньше общего числа файлов.

1. Переведём проценты в долю: 15% = 15 : 100 = 0,15.
2. Найдём часть от целого: 80 · 0,15 = 12.
3. Проверим результат: 12 файлов меньше 80, что соответствует доле 15%.

Ответ: в наборе 12 изображений.

Задача 3. 18 файлов одного типа составляют 30% всех файлов. Найдём общее число файлов, а затем количество файлов остальных типов. Так как известна часть и её доля, целое восстановим делением; остальные файлы составляют дополнение до целого.

1. Запишем долю десятичной дробью: 30% = 0,3.
2. Вычислим целое: 18 : 0,3 = 60 файлов.
3. Вычтем известную часть: 60 − 18 = 42 файла относятся к остальным типам.
4. Проверим доли: 30% + 70% = 100%, а 18 + 42 = 60.

Ответ: всего 60 файлов, из них 42 относятся к остальным типам.

Типичные ошибки

При поиске доли иногда делят целое на часть, хотя нужно делить часть на целое. Так делают, если путают порядок сравнения; результат может оказаться больше единицы, хотя искомая часть меньше целого. Проверь себя: при правильном делении части на целое доля не превышает 1.

Процент могут считать отдельной от доли величиной, хотя процент — это доля, выраженная в сотых. Из-за этого забывают переводить 15% в 0,15 перед вычислением. Проверь запись: число процентов делится на 100, а процент от целого не должен превышать целое, если он меньше 100%.

Ещё одна ошибка — умножать число на 15, когда нужно найти 15% от него. Причина в том, что знак процента не заменяет десятичную запись доли: 15% = 0,15. Перед умножением переведи проценты в десятичную дробь и оцени, должна ли найденная часть быть меньше целого.

Если сложить доли частей и получить не 1, или 100%, возможно, пропущена часть, какая-то часть учтена дважды либо данные противоречат друг другу. Ошибка может остаться незамеченной, если не проверять полный состав целого. Сложи доли и отдельно убедись, что перечислены все части без повторов.

Связь с другими темами

Для работы с частями целого нужны умение делить, знание обыкновенных и десятичных дробей. Также важно согласовывать единицы измерения: нельзя напрямую делить метры на сантиметры, не выполнив перевод. Эти действия помогают правильно находить отношение части к целому.

Доли и проценты используют при чтении таблиц и диаграмм, анализе статистики и сравнении данных. В электронных таблицах по проценту можно вычислять часть, а по части и доле — восстанавливать целое. Круговые диаграммы позволяют увидеть, как распределён общий результат между категориями.

Что запомнить

• Доля показывает, какую часть целого составляет выбранная часть.
• Долю находят делением величины части на величину целого.
• Один процент равен одной сотой целого.
• Чтобы найти процент от числа, процент переводят в десятичную дробь и умножают на число.
• Чтобы восстановить целое по части и её доле, величину части делят на долю.
• Доли всех частей, вместе составляющих целое, в сумме равны единице, или 100%.