§ 15. Вычисления на компьютере

Определения и обозначения

Точное значение — значение, которое совпадает с искомым и не получено округлением. Например, если длина отрезка задана как 12 см, это точное значение в условии. Результат измерения может отличаться от него, потому что измерительный прибор имеет ограниченную точность. Это различие помогает понять, когда можно считать ответ точным.

Приближённое значение — число, близкое к точному и заменяющее его в вычислениях. Так записывают, например, результат измерения или число, округлённое до нужного разряда. Компьютер может хранить некоторые числа только приближённо, поскольку выделяет для записи числа ограниченное количество разрядов. Приближённое значение удобно использовать, но его точность нужно учитывать.

Округление — замена числа ближайшим числом с заданным количеством разрядов. Сначала определяют разряд, который нужно сохранить, а затем смотрят на цифру справа от него. Если она меньше 5, сохраняемую цифру не меняют; если 5 или больше, увеличивают её на единицу. Если увеличивается 9, единица переносится в следующий разряд.

Погрешность — расхождение между точным и приближённым значениями. Абсолютную погрешность находят как модуль их разности: |точное значение − приближённое значение|. Модуль нужен, чтобы результат не зависел от порядка вычитания и не был отрицательным. По погрешности можно оценить, насколько близко приближение к точному значению.

Как это устроено

Компьютер работает с числами, которые записаны в памяти конечным количеством разрядов. Однако у некоторых чисел десятичная запись бесконечна: например, ⅓ = 0,3333… . Сохранить бесконечную последовательность цифр нельзя, поэтому компьютер записывает только её часть. Из-за этого значение в памяти оказывается приближённым, а последующие операции могут дать небольшое отличие от точного ответа.

При округлении сохраняют цифры до выбранного разряда включительно, а решение принимают по следующей цифре. Она показывает, к какому из двух ближайших чисел расположено исходное число: если цифра меньше 5, оставленная часть уже ближе к меньшему числу; если 5 или больше — к большему. Например, при округлении 18,736 до сотых сохраняют цифру 3, а следующая цифра 6, поэтому сотые увеличивают на единицу. Если в сохраняемом разряде стоит 9, увеличение приводит к переносу единицы влево.

Погрешность показывает разницу между тем, что должно быть, и тем, что получилось. Для её нахождения вычитают приближённое значение из точного и берут модуль разности. Например, если точное значение равно 12, а приближённое — 11,8, то погрешность составляет 0,2. Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближённый результат к точному.

Если округлять каждое промежуточное число, ошибка округления переходит в следующие вычисления. На каждом шаге к ней может добавиться новая погрешность, а результат следующего действия будет рассчитан уже по изменённому числу. Поэтому итог может отличаться от ответа, полученного при сохранении всех доступных разрядов до конца. Обычно промежуточные значения оставляют без округления, если условие не требует округлять их отдельно.

Нужную точность выбирают по задаче, а не по числу цифр на экране. Например, для измерения длины комнаты достаточно сантиметров, а для очень маленькой детали могут понадобиться миллиметры. Дополнительные цифры в компьютерном ответе не всегда означают, что измерение стало точнее: они могут быть следствием вычислений с приближёнными исходными данными. Следует записывать столько разрядов, сколько оправдано целью вычисления и точностью исходных значений.

Точные и приближённые вычисления

Сравнивайте значения по тому, совпадает ли ответ с искомым или только близок к нему. Если число получено измерением или округлением, его следует считать приближённым. Для оценки близости используйте абсолютную погрешность.

Разбор задач

1. Округление числа

Условие. Округлить 18,736 до десятых, сотых и целых. В каждом случае сохраняем разряды, указанные в вопросе, и проверяем следующую цифру. Это позволяет не округлять число на глаз, а применять одно правило.

1. До десятых сохраняем цифру 7 в разряде десятых. Справа стоит цифра 3, она меньше 5, поэтому 7 не меняется. Получаем 18,7.
2. До сотых сохраняем цифру 3 в разряде сотых. Следующая цифра — 6, значит, увеличиваем 3 на единицу. Получаем 18,74.
3. До целых сохраняем 18, то есть цифра единиц — 8. Первая цифра после запятой — 7, поэтому увеличиваем 8 на единицу. Получаем 19.

Ответ: до десятых — 18,7; до сотых — 18,74; до целых — 19.

2. Абсолютная погрешность измерения

Условие. Точная длина отрезка равна 12 см, а измерение дало 11,8 см. Требуется найти абсолютную погрешность. Сравним показание прибора с заданной точной длиной и возьмём модуль разности, чтобы получить неотрицательное значение.

1. Записываем точное значение: 12 см, а приближённое: 11,8 см. Значения выражены в одинаковых единицах, поэтому их можно вычитать.
2. Вычитаем приближённое значение из точного: 12 − 11,8 = 0,2 см. Разность положительна, поэтому её модуль равен 0,2 см.

Ответ: абсолютная погрешность измерения равна 0,2 см.

3. Округление в промежуточном вычислении

Условие. Вычислить ⅓ × 3 двумя способами: округляя ⅓ до десятых перед умножением и округляя только конечный результат. Сравним ответы, чтобы увидеть, почему лучше не менять промежуточное значение без необходимости. Точное значение произведения равно 1.

1. При округлении на промежуточном шаге заменяем ⅓ на 0,3. Умножаем: 0,3 × 3 = 0,9. От исходного значения отбрасывали цифры, поэтому в результате появилась ошибка.
2. Если не округлять промежуточное значение, получаем ⅓ × 3 = 1. Округление конечного ответа здесь не изменяет его.
3. Сравниваем ответы: 0,9 и 1 отличаются на 0,1. Значит, округление до десятых перед умножением изменило итог вычисления.

Ответ: с промежуточным округлением получается 0,9, без него — 1; округление на раннем шаге внесло погрешность.

Типичные ошибки

Приближённый вывод компьютера иногда принимают за точное значение, потому что на экране число выглядит убедительно. Но часть разрядов могла быть отброшена при хранении или округлении, поэтому вывод не всегда совпадает с математически точным ответом. Проверьте, бесконечна ли запись числа и указана ли точность результата. Если число получено измерением или округлением, учитывайте его как приближённое.

При округлении иногда смотрят только на цифры, которые собираются оставить, и забывают про следующую. Тогда число может быть округлено не в ту сторону, хотя именно цифра справа определяет, нужно ли увеличивать последний сохраняемый разряд. Проверьте, что сначала выбрали нужный разряд, а затем посмотрели на стоящую за ним цифру. Например, при округлении до сотых в числе 18,736 решение зависит от цифры 6.

Погрешность могут записать как разность в любом порядке и получить отрицательное число. Так происходит, если забыть, что абсолютная погрешность — это модуль разности, то есть расстояние между значениями. Для проверки поменяйте порядок вычитания: величина погрешности должна остаться той же и не быть отрицательной. Например, разность между 12 и 11,8 по модулю равна 0,2.

Ещё одна ошибка — округлять каждый промежуточный результат, хотя этого не требует условие. Маленькие изменения на нескольких шагах могут накопиться и заметно повлиять на итог. Сравните вычисление с ранним округлением и без него, чтобы увидеть возможное расхождение. Если точность промежуточных значений не задана, сохраняйте их разряды и округляйте конечный ответ.

Связь с другими темами

Для работы с точностью нужно знать десятичную запись чисел, названия разрядов и правила арифметических действий. Эти знания позволяют выбрать нужную цифру при округлении и правильно выполнять вычисления с десятичными дробями. Та же идея нужна при измерениях: показание прибора обычно является приближённым значением. Она пригодится при работе с электронными таблицами и проверке результатов, которые выводит компьютер.

Что запомнить

• Компьютерный результат не всегда совпадает с точным значением.
• Округляют по цифре, следующей за сохраняемым разрядом.
• Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений.
• Округление промежуточных результатов может накапливать погрешность.
• Точность результата выбирают с учётом цели вычисления.