§ 1. Что такое математическая логика? Высказывания

Определения и обозначения

Математическая логика — раздел математики, изучающий рассуждения и способы устанавливать их правильность. Она нужна, чтобы проверять ход мысли по точным правилам, а не полагаться только на то, как рассуждение звучит в обычной речи.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Это понятие помогает отделить утверждения, пригодные для логического анализа, от вопросов и просьб.

Истинность высказывания — соответствие его содержания действительности; высказывание бывает истинным или ложным. Проверка истинности показывает, верно ли утверждение при тех условиях, к которым оно относится.

Логическое значение — одно из двух значений высказывания: «истина» или «ложь»; их также обозначают 1 и 0. Эти обозначения позволяют коротко записывать результаты проверки и использовать их в логических выражениях.

Как это устроено

Математическая логика описывает рассуждения так, чтобы их можно было проверять по точным правилам. Это необходимо, потому что обычная речь иногда допускает разные толкования, и из-за этого один человек может понять вывод не так, как другой. Логический анализ помогает выяснить, действительно ли заключение следует из исходных утверждений. Поэтому при разборе рассуждения важно сначала определить, какие именно утверждения в нём используются.

Чтобы распознать высказывание, проверь, является ли предложение утверждением о чём-либо. Вопрос, например «Который час?», запрашивает информацию, но не сообщает факт, который можно оценить как истинный или ложный. Побуждение «Закройте окно!» требует действия, а не описывает действительность. Даже восклицательная форма сама по себе не делает фразу высказыванием: решает то, утверждает ли она что-либо определённое.

Истинность устанавливают по содержанию предложения и условиям, при которых оно рассматривается. Утверждение «2 + 3 = 5» истинно, потому что равенство верно; «2 + 3 = 6» ложно, потому что оно неверно. Одна и та же формулировка может требовать уточнения условий: например, вода кипит при 100 °C при обычном атмосферном давлении. Условия помогают понять, какое именно утверждение нужно проверять.

Не каждое предложение, похожее на утверждение, сразу получает логическое значение. В предложении «x больше 5» неизвестно, чему равно x, поэтому оно истинно для одних значений переменной и ложно для других. Пока значение не задано, нельзя однозначно решить, верно ли утверждение. После подстановки, например x = 7, уже можно проверить его истинность.

Личное отношение говорящего не заменяет проверку утверждения. Фраза «Мне нравится этот фильм» сообщает о предпочтении человека и может быть высказыванием, если речь идёт о конкретном говорящем и моменте. Но одобрение или уверенность сами по себе не доказывают истинность другого утверждения. Чтобы оценить его, нужно учитывать содержание и относящиеся к нему обстоятельства.

Примеры высказываний и предложений, которые ими не являются

Сначала проверь, утверждает ли предложение что-либо, а затем выясни, можно ли определить его истинность. Ложное утверждение тоже отмечай как высказывание: у него просто логическое значение «ложь». Если в предложении есть переменная, уточни, задано ли её значение.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли предложение «Вода кипит при 100 °C» высказыванием. Здесь требуется не просто узнать, верно ли число, а проверить, можно ли однозначно оценить утверждение при заданных условиях.

1. Предложение повествовательное: оно утверждает, при какой температуре кипит вода.
2. Уточним условия. При обычном атмосферном давлении утверждение можно проверить; без указания давления температура кипения может отличаться.
3. С учётом стандартного школьного условия предложение является высказыванием, истинным при обычном атмосферном давлении.

Ответ: да, если подразумевается обычное атмосферное давление; без уточнения условий требуется оговорка.

Задача 2. Укажите, какие предложения являются высказываниями: «Снег белый», «Решите задачу», «Число 12 делится на 3», «Где находится школа?». Для каждого предложения отдельно выясним, утверждает ли оно факт, а затем присвоим логическое значение тем, которые являются высказываниями.

1. «Снег белый» — утверждение, которое можно проверить; в обычном смысле оно истинно.
2. «Решите задачу» — команда, поэтому логического значения у неё нет.
3. «Число 12 делится на 3» — проверяемое утверждение; оно истинно, так как 12 : 3 = 4.
4. «Где находится школа?» — вопрос, а не утверждение.

Ответ: высказывания — «Снег белый» и «Число 12 делится на 3»; оба истинны. Команда и вопрос высказываниями не являются.

Задача 3. Объясните, является ли высказыванием «n — натуральное число» и изменится ли ответ для «n = 4». Разберём, задано ли значение переменной: именно от этого зависит возможность однозначно оценить утверждение.

1. В предложении «n — натуральное число» значение n не указано.
2. Если подставить разные значения, результат может различаться: при n = 4 утверждение истинно, а при n = 0 — ложно, если натуральные числа начинаются с 1.
3. В записи «n = 4» значение переменной задано. Утверждение «4 — натуральное число» истинно.

Ответ: без значения n первая фраза не имеет определённой истинности. При n = 4 она становится истинным высказыванием.

Типичные ошибки

Считать любое предложение высказыванием. Так ошибаются, потому что принимают грамматически законченную фразу за утверждение. Но вопрос и побуждение не сообщают факт, которому можно присвоить истину или ложь. Проверь себя: попробуй ответить, что именно в предложении утверждается и как проверить его истинность.

Называть ложное утверждение не высказыванием. Иногда кажется, что высказывание обязано быть правдой. На самом деле ложность — одно из двух возможных логических значений. Если утверждение можно проверить, оно остаётся высказыванием независимо от результата проверки.

Приписывать предложению с переменной истинность без указания её значения. Это происходит, когда незаметно подставляют в выражение привычное или случайное число. При другой подстановке результат может измениться. Проверь, задано ли значение переменной; если нет, не делай окончательный вывод об истинности.

Считать истинность делом мнения или формулировки говорящего. Уверенный тон не превращает утверждение в истину, а несогласие слушателя не делает его ложным. Истинность устанавливают по содержанию и условиям, к которым относится предложение. Для самопроверки отдели мнение о фразе от фактов, которыми можно подтвердить или опровергнуть её.

Связь с другими темами

Для начала достаточно уметь читать повествовательные предложения и отличать их от вопросов и побуждений. Это привычное языковое умение помогает определить, какие фразы вообще можно проверять логически. Затем к нему добавляется анализ истинности и условий.

Понятие высказывания служит основой для изучения логических операций, таблиц истинности и построения логических выражений. В дальнейшем отдельные утверждения будут соединять и исследовать, как меняется истинность результата. Поэтому важно сначала научиться уверенно распознавать сами высказывания.

Что запомнить

• Математическая логика изучает рассуждения и их правильность.
• Высказывание — утверждение, которому можно приписать истинность или ложность.
• Вопрос и побуждение не являются высказываниями.
• Ложное утверждение остаётся высказыванием.
• Истинность зависит от содержания и заданных условий.
• Предложение с переменной может требовать подстановки её значения.