§ 2. Двоичная система счисления, или Как хранятся данные в компьютере

Определения и обозначения

Двоичная система счисления — система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используют цифры 0 и 1. Основание показывает, сколько разных цифр применяется в записи. Такая система нужна компьютеру, чтобы представлять данные через два различимых состояния устройства.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется её местом в записи числа. Например, в десятичном числе 222 цифры одинаковы, но обозначают сотни, десятки и единицы. Понимание позиции помогает определить вклад каждой цифры в значение всего числа.

Бит — единица информации, принимающая одно из двух значений — 0 или 1. Название связано с английским выражением binary digit, то есть «двоичная цифра». Бит нужен для описания отдельного двоичного разряда и минимального выбора между двумя возможными состояниями.

Байт — единица хранения данных, состоящая из восьми битов. Несколько битов позволяют записывать больше вариантов, чем один бит. Байты используют, чтобы измерять объём данных и организовывать их хранение в памяти компьютера.

Как это устроено

Компьютер использует два состояния, потому что электронным устройствам проще надёжно различать два уровня сигнала, чем множество разных уровней. Например, схема может распознавать наличие напряжения как 1, а его отсутствие как 0. Если состояния достаточно далеко друг от друга, небольшие помехи реже приводят к ошибке. Поэтому двоичная запись удобна для хранения и обработки данных.

В двоичной записи каждый разряд справа налево отвечает за очередную степень числа 2: сначала 2⁰, затем 2¹, 2² и так далее. Это происходит потому, что при переходе влево разряд становится вдвое значимее, как в десятичной записи он становится в десять раз значимее. Цифра разряда показывает, нужно ли учитывать его значение: ноль исключает его, а единица включает. Поэтому число получают сложением значений разрядов, в которых стоит 1.

Чтобы перевести небольшое десятичное число в двоичное, его делят на 2 и записывают остатки. Деление продолжают, пока частное не станет нулём. Остатки появляются от младшего разряда к старшему: первое деление определяет, чётное число или нечётное, то есть значение разряда 2⁰. Поэтому готовую запись читают снизу вверх, от последнего остатка к первому.

При переводе двоичного числа в десятичное сначала определяют место каждого разряда, начиная справа с нулевой степени 2. Затем цифры умножают на соответствующие степени и складывают произведения. Такой способ прямо следует из позиционного принципа: значение записи складывается из значений всех её разрядов. Разряды с нулём дают нулевой вклад, но их нельзя пропускать при определении степеней для цифр слева.

Любые данные компьютер хранит как последовательности битов, потому что его устройства распознают состояния 0 и 1. Для текста задают коды символов, для изображения — коды цветов точек, а для звука — числовые значения измерений сигнала. Программы используют правила кодирования, чтобы правильно прочитать такую последовательность. Биты объединяют в байты, поскольку группами из восьми разрядов удобнее хранить данные и считать их объём.

Десятичная и двоичная системы счисления

Сравнивайте сначала основания и наборы цифр: это помогает не путать правила двух систем. Строка о разрядах подсказывает, какие степени использовать при переводе записи в значение числа. Последняя строка показывает, что одно и то же число может иметь разную запись в разных системах.

Разбор задач

Задача. Запишите число 13 в двоичной системе счисления. Будем делить число на 2, потому что основание нужной системы равно двум, и сохранять остатки. При этом остатки следует будет прочитать в обратном порядке.

1. 13 : 2 = 6, остаток 1. Это первый полученный остаток, он станет цифрой самого правого разряда.
2. 6 : 2 = 3, остаток 0; затем 3 : 2 = 1, остаток 1. Продолжаем деление, пока частное не станет нулём.
3. 1 : 2 = 0, остаток 1. Записываем остатки снизу вверх: 1, 1, 0, 1.

Ответ: 13₁₀ = 1101₂. Проверка обратным переводом даёт 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Значит, полученная запись верна.

Задача. Переведите двоичное число 10110 в десятичную систему. Удобно подписать степени двойки справа налево, начиная с нулевой, и учесть только разряды с цифрой 1. Разряды с нулём тоже учитываем в нумерации, хотя их вклад в сумму равен нулю.

1. Подписываем степени: 1·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰. Справа находится разряд 2⁰, а не 2¹.
2. Вычисляем произведения: 16 + 0 + 4 + 2 + 0. Каждая единица добавляет значение соответствующего разряда.
3. Складываем значения разрядов: 16 + 4 + 2 = 22. Нули не меняют сумму.

Ответ: 10110₂ = 22₁₀. Можно проверить результат, записав 22 делениями на 2: получится 10110. Обратная проверка помогает заметить ошибку в нумерации разрядов или сложении.

Задача. В памяти компьютера хранится 3 байта. Сколько это битов и сколько двоичных разрядов можно записать? Сначала используем соотношение между байтом и битом, затем учитываем, что каждый бит хранит одну двоичную цифру. Поэтому число битов одновременно показывает вместимость в двоичных разрядах.

1. В одном байте 8 битов. Это заданное соотношение для пересчёта единиц хранения.
2. Умножаем количество байтов на число битов в одном байте: 3 · 8 = 24. Получаем общее количество битов.
3. Один бит соответствует одному разряду со значением 0 или 1. Значит, 24 бита позволяют записать 24 двоичных разряда.

Ответ: 3 байта — это 24 бита и 24 двоичных разряда. Речь идёт о количестве мест для цифр, а не о том, что в памяти обязательно записана последовательность из 24 единиц. В каждом месте может находиться как 0, так и 1.

Типичные ошибки

Ошибка — думать, что двоичная система использует цифры 0 и 2. Её основание равно 2, но допустимы цифры от 0 до основания минус 1, то есть только 0 и 1. Путаница возникает из-за смешения основания с набором цифр. Проверьте каждую цифру записи: наличие 2 означает, что число записано не в двоичной системе.

При переводе десятичного числа иногда записывают остатки в том порядке, в котором получили. Так делают, потому что начинают вычисления с исходного числа и не замечают, что первый остаток относится к самому правому разряду. Остатки нужно читать снизу вверх. Проверьте результат обратным переводом: если сумма степеней двойки не даёт исходное число, порядок или вычисления ошибочны.

Можно ошибиться, считая разряды двоичного числа справа налево начиная со степени 2¹. Это происходит, если забыть, что крайний правый разряд отвечает за единицы, то есть за 2⁰. Пронумеруйте позиции от нуля до перевода и убедитесь, что справа стоит 2⁰. Затем сложите значения разрядов с единицами и сравните с ответом.

Бит и байт иногда принимают за одну и ту же единицу или считают, что байт равен одному биту. Путаница возникает из-за похожих названий и того, что обе единицы связаны с хранением данных. Запомните соотношение: один байт состоит из восьми битов. Для проверки пересчёта умножьте число байтов на 8, а не оставляйте число без изменений.

Связь с другими темами

Для изучения двоичной записи нужно понимать, что такое натуральное число и разрядная запись числа в десятичной системе. Знание разрядов помогает увидеть, почему положение цифры определяет её вклад в число. Двоичное представление пригодится при изучении кодирования текста, изображений и звука. Оно также помогает разбираться в объёме данных и памяти компьютера, поскольку данные хранятся в виде битов и байтов.

Что запомнить

• В двоичной системе основание равно 2, а используются цифры 0 и 1.
• Значения разрядов двоичного числа — степени числа 2.
• Для перевода двоичного числа в десятичное складывают значения его разрядов.
• При переводе десятичного числа в двоичное остатки от деления на 2 читают снизу вверх.
• Бит хранит одно из двух значений: 0 или 1.
• Один байт состоит из восьми битов.