"Информатика (в 2-х частях)", Горячев А.В., Островский С.Л., Паволоцкий А.В., Семёнов А.А., Чернышёва Т.Л., Широков Д.В.
Компьютер обрабатывает данные с помощью электрических сигналов, которым условно присваивают значения 0 и 1. Логические элементы выполняют над этими значениями операции И, ИЛИ и НЕ, а их работу показывают таблицами истинности. Соединяя элементы, получают схемы для более сложных вычислений. Набор операций, позволяющий построить схему для любой логической функции, называют логическим базисом; универсальным может быть даже один тип элемента — например, И-НЕ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логический элемент — электронное устройство, которое выполняет одну логическую операцию над входными сигналами и формирует выходной сигнал. На вход подаются значения, условно обозначенные 0 и 1, а выход показывает результат операции. Это понятие помогает связать правила логики с реальными электронными схемами компьютера.
Логический вентиль — схема, реализующая логическую операцию. В школьной информатике «вентиль» и «логический элемент» обычно обозначают устройство или схему с определённым логическим правилом работы. Зная правило вентиля, можно понять, какой выход появится при заданных входах.
Логический базис — набор логических операций, с помощью которых можно выразить любую логическую функцию и построить соответствующую схему. Например, к базису относятся операции И, ИЛИ и НЕ. Понятие базиса нужно, чтобы выяснить, какие типы элементов достаточны для построения цифровых устройств.
Универсальный логический элемент — элемент, операций которого достаточно для построения схем, реализующих любые логические функции. Например, таким элементом является И-НЕ: соединяя несколько одинаковых элементов, можно получить другие операции. Это позволяет строить схемы, используя устройства только одного типа.
В компьютере информацию передают электрические сигналы, которым сопоставляют логические значения 0 и 1. Такое соответствие удобно: физическое состояние сигнала можно распознать и обработать как один из двух вариантов. При этом 0 и 1 — условные обозначения диапазонов сигналов, а не утверждение, что в одном случае напряжения совсем нет.
Таблица истинности показывает, какой результат операция даёт для каждого возможного набора входов. Это работает потому, что у логических входов конечное число значений: для двух входов есть всего четыре сочетания. Таблица задаёт точное правило работы элемента и позволяет проверять схемы без догадок.
Элемент НЕ имеет один вход и выдаёт противоположное значение: при входе 0 получается 1, а при входе 1 — 0. Элемент И с двумя входами выдаёт 1, только когда оба входа равны 1. Элемент ИЛИ выдаёт 1, если хотя бы один вход равен 1, потому что для этой операции достаточно выполнения любого из двух условий.
Выход одного элемента можно подать на вход следующего, а результат использовать дальше. Так соединяют простые операции в цепочку и получают схемы, выполняющие более сложные логические функции. Например, сначала схема может вычислить ИЛИ для двух сигналов, а затем инвертировать результат элементом НЕ.
Операции И, ИЛИ и НЕ образуют логический базис: из них можно составить выражение для любой логической функции. Поэтому на их основе можно строить схемы для самых разных условий. Например, И-НЕ получается, если результат операции И инвертировать: A ↑ B = ¬(A ∧ B), где ↑ обозначает И-НЕ.
Элемент И-НЕ универсален, потому что только из таких элементов можно составить НЕ, И и ИЛИ. Для НЕ соединяют оба входа одного И-НЕ с A: A ↑ A = ¬A; затем два элемента И-НЕ позволяют получить A ∧ B, инвертировав результат первого. ИЛИ строят по закону де Моргана: A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B), используя полученные НЕ и И. Так же универсален ИЛИ-НЕ, или стрелка Пирса: объединённые входы дают НЕ, а сочетание нескольких таких элементов позволяет получить И и ИЛИ.
| Элемент | Обозначение операции | Условие получения 1 на выходе | Таблица истинности или формула |
|---|---|---|---|
| НЕ | ¬A | Вход равен 0 | A: 0, 1; ¬A: 1, 0 |
| И | A ∧ B | Оба входа равны 1 | 00→0; 01→0; 10→0; 11→1 |
| ИЛИ | A ∨ B | Хотя бы один вход равен 1 | 00→0; 01→1; 10→1; 11→1 |
| И-НЕ | ¬(A ∧ B), A ↑ B | Входы не оба равны 1 | 00→1; 01→1; 10→1; 11→0 |
| ИЛИ-НЕ | ¬(A ∨ B), A ↓ B | Оба входа равны 0 | 00→1; 01→0; 10→0; 11→0 |
Для элемента с двумя входами в таблице перечислены все четыре возможных набора. Сначала проверьте условие получения единицы, затем запишите для каждого набора выход. Для И-НЕ и ИЛИ-НЕ сначала найдите результат соответствующей операции, а после поменяйте его на противоположный.
Задача 1. Для элемента И заполнить выход при наборах входов 00, 01, 10 и 11. Решение: используем правило, что единица появляется только при двух единичных входах. При наборах 00, 01 и 10 это условие не выполнено, а при 11 выполнено. Ответ: 00→0; 01→0; 10→0; 11→1.
Задача 2. Составить таблицу истинности выражения ¬(A ∨ B). Решение: внутри скобок сначала вычисляется ИЛИ, затем результат отрицается. Переберём наборы: при 00 операция ИЛИ даёт 0, поэтому после НЕ получаем 1; при 01 и 10 ИЛИ даёт 1, а после НЕ — 0; при 11 результат также 0. Ответ: 00→1; 01→0; 10→0; 11→0.
Задача 3. Построить из элементов И-НЕ схему, выполняющую И для входов A и B, и проверить её таблицей. Решение:
Ответ: два элемента И-НЕ соединяются последовательно; выход второго равен A ∧ B. Таблица результата: 00→0; 01→0; 10→0; 11→1. Такой способ подтверждает, что элемент И можно собрать из двух элементов И-НЕ.
Ошибка: считать, что элемент И выдаёт 1, если хотя бы один вход равен 1. Так путают строгое условие И с условием ИЛИ, поскольку обе операции работают с несколькими входами. Проверьте случай 01: для И ответ 0, а для ИЛИ — 1.
Ошибка: путать выход ИЛИ с выходом И-НЕ или ИЛИ-НЕ. В последних двух операциях результат сначала вычисляется, а затем отрицается, поэтому выход меняется на противоположный. Для проверки сравните, например, набор 00: ИЛИ даёт 0, а ИЛИ-НЕ — 1.
Ошибка: считать, что 0 всегда означает полное отсутствие напряжения, а 1 — наличие любого напряжения. Логические значения обозначают распознаваемые состояния сигнала, а не описывают напряжение без уточнений. Чтобы проверить себя, разделяйте физический сигнал и условное значение, которое ему приписано.
Ошибка: думать, что логический базис — только один обязательный набор элементов. Это заблуждение возникает, если запомнить пример И, ИЛИ и НЕ, не учитывая другие универсальные наборы. Проверьте набор: если из его операций можно получить любую логическую функцию, он тоже образует базис; например, достаточно одних И-НЕ.
Для изучения темы нужны значения 0 и 1, операции И, ИЛИ, НЕ и умение читать таблицы истинности. Логические элементы объясняют, как эти правила воплощаются в цифровых схемах и используются при устройстве процессора. Позже те же знания помогают работать с логическими выражениями, схемами и способами представления алгоритмов в информатике.
Чем логический элемент отличается от логической операции?
Логическая операция — это правило обработки значений 0 и 1, например И или НЕ. Логический элемент — электронное устройство, которое физически реализует такое правило и выдаёт результат в виде сигнала.
Почему таблица истинности описывает работу элемента?
Она перечисляет все возможные наборы входных значений и указывает результат для каждого набора. Поэтому по таблице можно однозначно определить, какой сигнал элемент выдаст при любых входах.
Чем операция И отличается от операции ИЛИ?
И даёт 1, только если все входы равны 1. ИЛИ даёт 1, если хотя бы один вход равен 1.
Что означает, что набор операций является логическим базисом?
Это значит, что из операций набора можно составить выражение для любой логической функции. Например, базисом служат И, ИЛИ и НЕ, но не обязательно только они.
Почему элемент И-НЕ считают универсальным?
Только из элементов И-НЕ можно получить операции НЕ, И и ИЛИ. А поскольку эти операции образуют базис, с помощью соединённых элементов И-НЕ можно реализовать любую логическую функцию.
§ 8. Логические элементы в компьютере. Логический базис
