Модуль 2. Знакомство с математической логикой

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Число 8 чётное» сообщает проверяемый факт. Вопрос «Чётное ли число 8?» и команда «Назови чётное число!» высказываниями не являются: они не утверждают, что можно проверить на истинность.

Истинность высказывания — одно из двух значений: истина или ложь. Например, высказывание «8 больше 3» истинно, а «8 меньше 3» ложно. Значение определяется смыслом утверждения, а не его формой: вопросительная или утвердительная интонация сама по себе не делает факт истинным.

Логическое отрицание — новое высказывание, выражающее, что исходное неверно. Для высказывания A отрицание обозначают ¬A и читают «не A». Если A истинно, ¬A ложно; если A ложно, ¬A истинно. Эта операция позволяет выразить противоположное утверждение, не меняя предмет рассуждения.

Логические операции — правила, по которым из исходных высказываний составляют новые. Конъюнкция A ∧ B означает «A и B», а дизъюнкция A ∨ B — «A или B». По результату операции можно понять, выполнено ли составное условие целиком или достаточно выполнения хотя бы одной его части.

Как это устроено

Математическая логика рассматривает не отдельные слова, а утверждения, для которых можно установить истину или ложь. Одно и то же слово в разных фразах может иметь разный смысл, поэтому само по себе оно не задаёт логического значения. Анализируя высказывания, можно проверять рассуждения независимо от того, какими словами они сформулированы. Это особенно полезно, когда условие состоит из нескольких частей.

Отрицание меняет значение исходного высказывания на противоположное, поскольку сообщает, что оно неверно. Если A истинно, утверждение «не A» отрицает факт и потому ложно; если A ложно, отрицание отвергает ложное утверждение и становится истинным. Например, если A — «10 делится на 2», то ¬A — «10 не делится на 2». Нужно отрицать смысл всего утверждения, а не механически заменять отдельное слово.

Конъюнкция объединяет требования, которые должны выполняться одновременно. Поэтому выражение A ∧ B истинно лишь в случае, когда истинны и A, и B: ложность хотя бы одной части нарушает общее условие. Дизъюнкция объединяет варианты, из которых достаточно одного подходящего. Значит, A ∨ B ложно только тогда, когда ложны обе части; если истинна хотя бы одна, всё выражение истинно.

Таблица истинности перечисляет все возможные сочетания значений исходных высказываний и показывает результат операции для каждого сочетания. Для двух высказываний A и B есть четыре набора: 0 и 0, 0 и 1, 1 и 0, 1 и 1. Каждая строка таблицы отвечает одному набору, поэтому ни один случай не теряется. Таблица делает правило наглядным и помогает проверить вычисления даже в длинном выражении.

Составное высказывание разбирают по частям, потому что его итог зависит от значений отдельных фрагментов и операций между ними. Сначала выделяют исходные высказывания и устанавливают их значения, затем находят отрицания и результаты объединения. Если часть выражения уже вычислена, её результат используют как значение для следующего шага. Такой порядок позволяет проследить, откуда получен итог, и заметить ошибку, если она возникла.

Основные логические операции и условия их истинности

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите нужную операцию и прочитайте условие в последнем столбце. Для сложного выражения вычисляйте значение каждой части, а затем применяйте правило к полученным результатам. Истину можно обозначать цифрой 1, а ложь — цифрой 0.

Разбор задач

Проверяем предложение на высказывание

Условие. Определить, является ли предложение «Число 8 чётное» высказыванием, и указать его истинность. Важно не ориентироваться только на то, что перед нами грамматически законченное предложение. Нужно выяснить, можно ли проверить сообщаемый им факт.

1. Предложение утверждает, что число 8 чётное, а не задаёт вопрос и не просит что-либо сделать. Значит, у него есть определённый смысл.
2. Проверим утверждение: 8 делится на 2 без остатка. Следовательно, число 8 действительно чётное.
3. Факт можно однозначно оценить, и он верен. Поэтому предложение является высказыванием со значением «истина».

Ответ. Это высказывание, оно истинно.

Применяем отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию

Условие. Даны A: «10 делится на 2» и B: «10 делится на 3». Нужно определить истинность ¬A, A ∧ B и A ∨ B. Сначала оценим исходные утверждения: 10 делится на 2 без остатка, но на 3 без остатка не делится. Значит, A истинно, а B ложно.

1. Так как A истинно, его отрицание ¬A ложно. Оно утверждало бы, что 10 не делится на 2.
2. Конъюнкция A ∧ B требует истинности обеих частей. B ложно, поэтому всё выражение ложно.
3. Дизъюнкция A ∨ B истинна, если истинна хотя бы одна часть. A истинно, значит, дизъюнкция истинна, хотя B ложно.

Ответ. ¬A — ложь, A ∧ B — ложь, A ∨ B — истина.

Строим таблицу истинности выражения ¬A ∨ B

Условие. Составить таблицу истинности для ¬A ∨ B и найти значение при A = 1, B = 0. Сначала перечислим все сочетания двух исходных значений: 0 и 0, 0 и 1, 1 и 0, 1 и 1. В каждом наборе сначала найдём ¬A, а затем выполним дизъюнкцию с B.

1. При A = 0 и B = 0 отрицание ¬A равно 1, поэтому 1 ∨ 0 = 1.
2. При A = 0 и B = 1 получаем ¬A = 1, а затем 1 ∨ 1 = 1.
3. При A = 1 и B = 0 получаем ¬A = 0, поэтому 0 ∨ 0 = 0. Это также искомый набор значений.
4. При A = 1 и B = 1 отрицание равно 0, а 0 ∨ 1 = 1.

Ответ. Таблица приведена выше; при A = 1 и B = 0 значение выражения равно 0, то есть ложно.

Типичные ошибки

Ошибочно считать вопрос или приказ высказыванием, потому что они тоже могут выглядеть как законченные фразы. Но вопрос запрашивает информацию, а приказ побуждает к действию: ни один не утверждает проверяемый факт. Для проверки спросите себя, можно ли ответить об этой фразе «истина» или «ложь», не меняя её смысла. Если такой оценки нет, это не высказывание.

Иногда думают, что дизъюнкция истинна только при истинности ровно одного высказывания. Это смешение логического «или» с разговорным выбором одного варианта. В логике A ∨ B истинно и тогда, когда истинны обе части. Проверьте строку таблицы, где A = 1 и B = 1: результат должен быть 1.

Путать конъюнкцию и дизъюнкцию легко, потому что обе операции соединяют два утверждения. Но для A ∧ B нужны две истины, а для A ∨ B достаточно одной. Чтобы себя проверить, рассмотрите случай, когда истинно только A: конъюнкция будет ложной, а дизъюнкция — истинной. Это простой способ не перепутать условия.

Ещё одна ошибка — отрицать отдельное слово, не проверяя, как изменился смысл всего высказывания. Отрицание должно быть ложным ровно тогда, когда исходное утверждение истинно, и наоборот. Сформулируйте предложение «не A» целиком и сравните его значение с A. Если оба утверждения получились одновременно истинными или одновременно ложными, отрицание построено неправильно.

Связь с другими темами

Для изучения логики нужно уметь распознавать предложения и проверять математические утверждения: без этого нельзя определить, какие фразы являются высказываниями и истинны ли они. Логические операции применяют в алгоритмах и программах, когда условие состоит из нескольких требований или вариантов. Таблицы истинности помогают проверить, как программа должна вести себя при разных входных значениях. Похожим образом в теории множеств объединяют условия принадлежности элемента множеству и рассматривают их отрицания.

Что запомнить

• Высказывание имеет одно из двух значений: истина или ложь.
• Вопросы и команды не являются высказываниями.
• Отрицание меняет истинность высказывания на противоположную.
• Конъюнкция истинна, только если истинны оба её аргумента.
• Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из двух высказываний.
• Таблица истинности показывает результат операции для всех возможных сочетаний исходных значений.