Одинаковые бусины. Разные бусины

Определения и обозначения

Одинаковые бусины — бусины, которые при составлении вариантов не различают по цвету, форме или другим признакам. Например, две красные бусины могут считаться одной разновидностью. Это нужно, чтобы не принимать их перестановку за новый вариант.

Разные бусины — бусины, каждая из которых считается отдельным объектом и может отличать один вариант от другого. Даже бусины одного цвета могут быть разными, если их специально различают. От этого зависит, сколько цепочек получится.

Цепочка из бусин — последовательность бусин, размещённых по местам слева направо. У каждой бусины есть своё место, поэтому порядок часто имеет значение. Такое представление позволяет выбирать элементы по очереди.

Перебор вариантов — последовательное построение всех возможных цепочек с проверкой, что ни один вариант не пропущен и не посчитан дважды. Для этого фиксируют порядок действий: выбирают бусину для первого места, затем для следующего. Перебор может быть записан списком или показан деревом вариантов.

Как это устроено

Количество цепочек зависит от того, какие признаки считают различиями. Если все бусины одинаковые, перестановка не меняет результат, поэтому при одном и том же количестве мест получается одна цепочка. Если бусины различаются по цвету или виду, порядок цветов или видов уже может создавать новые варианты.

При построении цепочки нужно рассматривать варианты по очереди для каждого места. Сначала выбирают возможную бусину на первое место, затем для каждого такого выбора проверяют все варианты второго места и только после этого переходят к третьему. Такой порядок превращает задачу в систему маленьких выборов и не позволяет случайно оставить без внимания целую группу цепочек.

Повторение разрешено, если бусину можно снова использовать после выбора. Тогда набор доступных вариантов на каждом месте не меняется, например для двух цветов на трёх местах каждый шаг имеет два выбора. Если повторение запрещено, выбранная бусина исчезает из набора, поэтому на следующем месте вариантов становится меньше.

Для цепочки порядок бусин важен, потому что места слева направо различаются. Цепочки красная-синяя и синяя-красная имеют одинаковые бусины, но разный порядок, значит, при разных бусинах это два варианта. Исключение возникает, когда переставляемые элементы одинаковы: обмен двух одинаковых красных бусин ничего не меняет.

Дерево вариантов помогает систематизировать перебор. В его вершинах или ветвях показывают последовательные выборы: от первого места идут ветви ко второму, затем к третьему. Если довести каждую ветвь до нужной длины и проверить все ответвления, можно убедиться в полноте перебора.

Составление цепочек из одинаковых и разных бусин

Сначала найдите в таблице условие, похожее на задачу, а затем уточните, что именно считается различием. Особенно внимательно проверьте повторения и правило для замкнутых бус. Если вариантов немного, перечислите их, а при большом числе используйте дерево или умножение числа выборов.

Разбор задач

Задача 1. Составить все цепочки длины 3 из бусин двух цветов, если бусины каждого цвета можно использовать повторно. Обозначим цвета буквами К и С. Нужно получить все последовательности из трёх букв.

1. Для первого места есть два выбора: К или С.
2. После любого первого выбора для второго места снова доступны К и С, потому что повторение разрешено.
3. Для третьего места также остаются два выбора, поэтому записываем ветви дерева: ККК, ККС, КСК, КСС, СКК, СКС, ССК, ССС.

Ответ: получилось 8 цепочек. Их число можно проверить умножением 2 · 2 · 2 = 8.

Задача 2. Из четырёх разных бусин составить цепочки длины 3 без повторения бусин. Обозначим бусины А, Б, В и Г. После каждого выбора одна бусина становится недоступной.

1. На первое место можно поставить любую из 4 бусин.
2. После этого для второго места остаются 3 бусины, а для третьего — 2.
3. Число цепочек равно 4 · 3 · 2 = 24; перебор деревом дал бы те же 24 окончания ветвей.

Ответ: можно составить 24 цепочки. Например, АБВ и БАР? Нет, обозначения должны быть из набора: АБВ и БАГ различны, потому что порядок и состав мест отличаются.

Задача 3. Есть две одинаковые красные бусины, а также синяя и зелёная, которые различны с красными и между собой. Составим цепочки из всех четырёх бусин. Обозначим красный цвет буквой К, синий — С, зелёный — З.

1. Сначала выбираем расположение двух К, потому что обмен красных бусин не создаёт нового варианта.
2. Выбираем два места из четырёх для К: 1–2, 1–3, 1–4, 2–3, 2–4 или 3–4.
3. На оставшиеся два места ставим С и З двумя способами, поэтому получаем 6 · 2 = 12 цепочек.

Ответ: 12 вариантов. Здесь нельзя дополнительно переставлять две красные бусины: они одинаковые и уже учтены как одна разновидность.

Типичные ошибки

Считать одинаковые бусины разными только потому, что они занимают разные места, — ошибка. Её допускают, когда видят две физические бусины и забывают правило задачи. Проверьте себя: если поменять местами одинаковые элементы, изменилась ли последовательность признаков?

При свободном переборе легко пропустить варианты. Причина — переход к следующему случаю без фиксированного порядка выбора. Проверяйте себя по местам: перебраны ли все варианты первого места, а внутри каждого — все варианты второго?

Иногда один вариант считают несколько раз, меняя местами одинаковые бусины. Такой счёт возникает, если различать предметы, хотя условие различает только цвет или вид. Сверяйте цепочки по признакам, а не по тому, какая именно одинаковая бусина оказалась в руке.

Для замкнутых бус нельзя автоматически считать поворот новым вариантом. Ошибка появляется, когда цепочку мысленно читают только с одного выбранного места. До подсчёта запишите правило: совпадают ли варианты после поворота и переворота?

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь сравнивать объекты по признакам, составлять последовательности и пользоваться таблицами или схемами перебора. Эти навыки помогают точно понять, какие бусины считаются одинаковыми.

Перебор подготавливает к комбинаторике, дереву вариантов и правилам подсчёта. Позже такие схемы позволяют находить число вариантов быстрее, не выписывая каждый из них.

Та же идея встречается при составлении кодов, расписаний и маршрутов. В программировании последовательный перебор становится алгоритмом, который проверяет все допустимые решения.

Что запомнить

• Одинаковые бусины не создают новых вариантов при перестановке.
• Разные бусины могут образовывать разные варианты при изменении порядка.
• Перед подсчётом нужно выяснить, разрешены ли повторения.
• Каждый вариант следует строить по определённому правилу.
• Полный перебор не должен пропускать варианты и повторно считать один вариант.
• Дерево вариантов помогает делать перебор последовательным и наглядным.