"Информатика (в 3 частях)", Семёнов А.Л., Рудченко Т.А.
Слова «все» и «каждый» показывают, что утверждение относится не к нескольким, а ко всем объектам выбранного класса. Чтобы считать такое утверждение истинным, нужно убедиться: свойство есть у каждого объекта и исключений нет. Для опровержения достаточно найти один контрпример — объект, у которого свойство отсутствует. Поэтому важно отдельно определить класс объектов, их свойство и способ проверки: перебор в конечном списке или рассуждение по общему условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общее утверждение — утверждение, относящееся ко всем объектам некоторого класса. Например, фраза «все чётные числа делятся на 2» говорит о целом классе чисел, а не о нескольких выбранных примерах. Это понятие нужно, чтобы проверять высказывания сразу для всей рассматриваемой совокупности.
Слово «все» указывает, что свойство должно выполняться для каждого объекта из рассматриваемого класса. Если сказано «все фигуры имеют свойство», нельзя оставить без внимания ни одну фигуру этого класса. Такое слово задаёт полный объём проверки.
Слово «каждый» означает проверку свойства у любого отдельно взятого объекта класса. Фраза «каждый ученик получил учебник» требует мысленно обратиться к каждому ученику, а не только к нескольким. По смыслу в общем утверждении «каждый» обычно заменяет слово «все».
Контрпример — конкретный объект, опровергающий общее утверждение. Если утверждается, что все числа в списке чётные, число 9 будет контрпримером. Поиск контрпримера нужен потому, что одного исключения достаточно для вывода о ложности утверждения.
Слова «все» и «каждый» задают требование проверить свойство у каждого объекта класса. Причина в самом смысле этих слов: утверждение не оставляет места для непроверенных исключений. Поэтому после проверки одного объекта нельзя делать вывод обо всей совокупности, если остальные объекты неизвестны.
Общее утверждение истинно только тогда, когда исключений нет. Один объект без нужного свойства нарушает фразу «все объекты обладают этим свойством», даже если все остальные объекты ей соответствуют. Значит, при доказательстве нужно подтвердить условие для всего класса, а не просто собрать несколько удачных примеров.
Для опровержения утверждения достаточно найти один подходящий контрпример. Он показывает, что требование «для каждого» нарушено хотя бы в одном случае. Искать другие нарушения можно, но логически это уже не требуется: первое исключение сразу делает утверждение ложным.
Нужно различать класс объектов и свойство, которое им приписывают. В высказывании «все числа в списке чётные» классом являются числа именно этого списка, а свойством — чётность. Если перепутать эти части, можно начать проверять не те объекты или искать не тот признак.
В конечном списке общее утверждение проверяют полным перебором: берут объекты по очереди и проверяют условие. Если найдено нарушение, появляется контрпример; если проверены все объекты и нарушений нет, утверждение подтверждено для этого списка. В общем случае рассуждают не по отдельным примерам, а используют условие, которому должен удовлетворять любой объект класса.
| Форма утверждения | Что требуется проверить | Как опровергнуть | Пример типа утверждения |
|---|---|---|---|
| «Все объекты класса обладают свойством» | Свойство есть у каждого объекта класса | Найти один объект без этого свойства | Все чётные числа делятся на 2 |
| «Каждый объект класса обладает свойством» | Проверить любой отдельно взятый объект класса | Найти хотя бы один объект-исключение | Каждый ученик получил учебник |
| Истинное общее утверждение | Для всех объектов условие выполняется | Контрпример отсутствует | Каждый элемент списка отмечен |
| Ложное общее утверждение | Условие нарушается хотя бы для одного объекта | Указать объект, нарушающий условие | Все фигуры на рисунке имеют равные стороны |
Сначала определите класс объектов и свойство, затем выберите строку, соответствующую форме утверждения. Для истинного утверждения нужен результат проверки всех объектов без исключений, а для ложного достаточно предъявить один контрпример. Таблица помогает отличить требование доказать общее свойство от способа его опровергнуть.
Дан список чисел 2, 4, 6, 9. Нужно определить, верно ли утверждение «Все числа в списке чётные». Класс объектов здесь ограничен четырьмя числами списка, а проверяемое свойство — делимость на 2 без остатка.
Ответ: утверждение ложно, потому что в списке есть число 9. Для опровержения не требуется искать другие нечётные числа.
Нужно определить, верно ли утверждение «Каждый ученик класса решил задачу», если известны результаты отдельных учеников. Класс объектов — все ученики данного класса, а свойство — решение задачи; результаты отдельных учеников нельзя автоматически распространить на остальных.
Ответ: утверждение истинно только при наличии результата «решил» у каждого ученика. Один ученик, не решивший задачу, делает утверждение ложным.
Нужно составить общее утверждение по набору объектов и доказать или опровергнуть его. Удобно разделить работу на класс объектов, свойство и проверку того, выполняется ли оно для всех.
Ответ: утверждение доказано полным перебором. Если бы среди чисел встретилось, например, 10, его можно было бы предъявить как контрпример и опровергнуть фразу.
Проверка нескольких объектов вместо всех. Ученик видит несколько подходящих примеров и считает утверждение доказанным, хотя остальные объекты не проверены. Такая ошибка возникает из-за переноса свойства с части класса на весь класс. Проверьте, составлен ли полный список и рассмотрен ли каждый его элемент.
Путаница слов «все» и «некоторые». Наличие нескольких подходящих объектов подтверждает лишь утверждение «некоторые обладают свойством». Чтобы говорить «все», нужно исключить нарушения у каждого объекта. Спросите себя, осталось ли хотя бы одно непроверенное исключение.
Неправильный пример при опровержении. Подходящий объект подтверждает утверждение, а не опровергает его. Контрпримером может быть только объект того же класса, у которого нужного свойства нет. Проверьте, действительно ли выбранный объект нарушает условие.
Игнорирование границ класса. Иногда к проверке добавляют объекты, которые не входят в условие, или исключают подходящие объекты. Причина ошибки — невнимательное чтение описания класса. Перечислите, о каких именно объектах говорится, и проверяйте только их.
До этой темы нужно понимать, что такое объект, класс объектов, свойство и истинность утверждения. Эти понятия помогают разделить высказывание на «о ком говорится» и «что об этих объектах утверждается».
Дальше общие утверждения пригодятся при составлении логических условий, проверке алгоритмов и анализе результатов перебора. Алгоритм может проверять объекты по одному и останавливаться сразу после обнаружения нарушения.
Тема связана с отрицанием общих утверждений и условиями «существует» и «не существует». Отрицание фразы «все объекты обладают свойством» ищет хотя бы один объект, у которого это свойство отсутствует.
Одинаковы ли по смыслу слова «все» и «каждый»?
В общем утверждении они выражают одну и ту же идею: свойство должно выполняться у каждого объекта выбранного класса. Разница только в форме фразы.
Сколько объектов нужно найти, чтобы опровергнуть утверждение «все»?
Достаточно найти один объект, у которого указанное свойство отсутствует. Такой объект называется контрпримером.
Можно ли доказать общее утверждение проверкой нескольких примеров?
Нет, если в классе есть ещё непроверенные объекты. Несколько подходящих примеров показывают только наличие свойства у этих объектов, но не у всех.
Что делать, если в списке найден один объект-исключение?
Нужно указать его как контрпример и сделать вывод, что общее утверждение ложно. Дополнительная проверка остальных объектов для опровержения уже не требуется.
Как понять, к каким именно объектам относится общее утверждение?
Найдите слова или условия, задающие класс: например, «числа в списке», «ученики класса», «чётные числа». Проверять нужно только объекты, которые соответствуют этому описанию.
Все, каждый
