"Занимательные задачи по информатике", Босова Л.Л., Босова А.Ю., Коломенская Ю.Г.
Задачи о разъездах помогают узнать, когда и где встретятся движущиеся объекты или когда один догонит другой. Для решения нужно понять, движутся ли объекты навстречу или в одну сторону, и определить, как быстро сокращается расстояние между ними. Эта скорость называется скоростью сближения. Зная начальное расстояние и скорость сближения, можно найти время, а затем — путь каждого объекта.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Задача о разъездах — задача о движении, в которой нужно определить, когда или где движущиеся объекты встретятся либо поравняются. Например, это могут быть пешеходы, автобусы или велосипедисты. Такое определение помогает понять, что в задаче важно следить не только за путём каждого, но и за расстоянием между ними.
Встречное движение — движение объектов навстречу друг другу, при котором расстояние между ними уменьшается. Каждый объект проходит часть пути от одного к другому. Это понятие нужно, чтобы выбрать правильное действие со скоростями и узнать время до встречи.
Движение в одном направлении — движение объектов по одному пути в одну сторону. Если один движется быстрее, он может догнать того, кто находится впереди. Это определение помогает отличить обгон от встречи при движении навстречу.
Скорость сближения — скорость, с которой уменьшается расстояние между объектами. При встречном движении она равна сумме скоростей, а при движении в одну сторону — их разности. Она нужна, чтобы определить, за какое время исчезнет начальный промежуток между объектами.
В основе решения лежит правило: расстояние находят умножением скорости на время. Если скорость равна 4 км/ч, это означает, что за каждый час объект проходит 4 км. Зная скорость и время, можно вычислить путь каждого участника движения. А чтобы решить задачу о разъездах, нужно понять, как эти пути меняют расстояние между объектами.
При встречном движении объекты идут навстречу друг другу и оба сокращают промежуток между собой. За один и тот же промежуток времени каждый проходит свой путь: первый — v₁ × t, второй — v₂ × t. Вместе они проходят расстояние v₁ × t + v₂ × t, то есть t × (v₁ + v₂). Поэтому скорость сближения равна сумме скоростей, а расстояние между объектами уменьшается на сумму пройденных ими путей.
При движении в одну сторону оба объекта проходят путь в одинаковом направлении, поэтому нельзя считать, что они вместе преодолевают весь промежуток. Если впереди едет медленный объект, а сзади — быстрый, быстрый за равное время проходит больше. Например, при скоростях 12 км/ч и 9 км/ч расстояние сокращается на 3 км за час. Значит, скорость сближения равна разности скоростей: 12 − 9 = 3 км/ч.
Чтобы найти время до встречи или обгона, начальное расстояние делят на скорость сближения: t = S / vсбл. Такое деление отвечает на вопрос, сколько раз скорость сближения укладывается в расстоянии, которое нужно сократить. Перед вычислением проверь единицы: если скорость дана в километрах в час, время получится в часах, когда расстояние выражено в километрах. Несогласованные единицы сначала нужно перевести.
После вычислений полезно проверить смысл ответа, а не только арифметику. Умножь скорость сближения на найденное время: результат должен совпасть с начальным расстоянием. Можно также вычислить путь каждого объекта и убедиться, что при встречном движении эти пути вместе равны расстоянию между пунктами. При обгоне разность путей должна равняться начальному промежутку.
| Ситуация | Скорость сближения | Время до встречи или обгона |
|---|---|---|
| Движение навстречу друг другу | Сумма скоростей | Начальное расстояние разделить на сумму скоростей |
| Движение в одну сторону, быстрый догоняет медленного | Разность скоростей | Начальное расстояние разделить на разность скоростей |
Сначала найди в условии направление движения и начальное расстояние. Затем выбери соответствующую строку таблицы и вычисли скорость сближения. Последний шаг — разделить расстояние на эту скорость; проверь, в каких единицах получится время.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли пешеходы со скоростями 4 км/ч и 2 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Поскольку пешеходы движутся навстречу, каждый из них сокращает расстояние между ними. Значит, нужно узнать их общую скорость сближения.
Ответ: пешеходы встретятся через 4 часа. Проверка показывает, что их пути вместе равны расстоянию между пунктами. Поэтому к этому времени промежуток между ними станет равным нулю.
Велосипедист едет со скоростью 12 км/ч и находится на 6 км позади велосипедиста, который едет в том же направлении со скоростью 9 км/ч. Через сколько часов первый догонит второго? Здесь важно не сложить скорости, потому что оба движутся в одну сторону. Расстояние сокращается лишь на то, насколько больше первый проезжает за час.
Ответ: первый велосипедист догонит второго через 2 часа. За это время он проедет на 6 км больше, чем велосипедист впереди. Именно на такой промежуток он отставал вначале.
Два автобуса одновременно выехали навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 360 км. Скорости автобусов — 70 км/ч и 50 км/ч. На каком расстоянии от первого города они встретятся? Сначала нужно узнать, сколько времени автобусы будут сближаться. Затем по скорости первого автобуса и найденному времени можно определить его путь от первого города.
Ответ: автобусы встретятся на расстоянии 210 км от первого города. Проверка подтверждает, что вместе они преодолели расстояние между городами. Здесь расстояние до места встречи отсчитывается именно от первого города.
При встречном движении иногда вычитают скорости, хотя оба объекта одновременно сокращают расстояние между собой. Такую ошибку допускают, если механически используют правило для обгона. Проверь направление: если объекты идут навстречу, их пути складываются, значит, складываются и скорости.
При движении в одну сторону иногда складывают скорости, не учитывая, что оба объекта едут в одном направлении. Расстояние сокращается только на разность пройденных путей, поэтому нужна разность скоростей. Для проверки представь, что объекты едут с одинаковой скоростью: расстояние между ними не меняется, а сумма скоростей ошибочно дала бы ненулевое сближение.
Ещё одна ошибка — делить начальное расстояние на скорость одного объекта. Тогда не учитывается, что второй тоже движется и влияет на промежуток между ними. Используй скорость сближения, а затем проверь, что за найденное время она позволяет сократить всё начальное расстояние.
Результат может оказаться неверным, если смешать километры с метрами или часы с минутами. Причина в том, что числа в вычислении должны относиться к согласованным единицам. До решения переведи величины, например метры в километры или минуты в часы, а после проверь, соответствует ли единица ответа условию.
Для решения задач о разъездах нужно уметь находить расстояние, скорость или время по правилу «расстояние = скорость × время». Также важно переводить единицы измерения, например минуты в часы и метры в километры. Эти знания помогают правильно выполнить вычисления и понять, что означает ответ. Рассуждения о сближении пригодятся при решении других задач на движение, планировании маршрутов и оценке времени встречи или обгона.
Почему при движении навстречу скорости складывают?
Каждый объект движется навстречу другому и за одно и то же время проходит часть расстояния между ними. Поэтому расстояние сокращается на сумму пройденных путей, а скорость сближения равна сумме скоростей.
Почему при движении в одну сторону скорости вычитают?
Оба объекта движутся в одну сторону, поэтому более быстрый за то же время проходит лишь на часть пути больше медленного. Именно эта разница сокращает расстояние между ними, поэтому скорости вычитают.
Как определить, какую скорость использовать для нахождения времени встречи?
Сначала определи направление движения. Если объекты движутся навстречу, сложи скорости; если быстрый догоняет медленного в одном направлении, найди разность скоростей. Полученную скорость сближения используй вместе с начальным расстоянием.
Как найти место встречи, если известны скорости и расстояние между пунктами?
Сначала раздели расстояние между пунктами на сумму скоростей — так ты найдёшь время встречи. Затем умножь скорость одного объекта на это время. Полученный путь покажет расстояние от пункта, из которого этот объект выехал.
Что делать, если скорость задана в километрах в час, а время — в минутах?
Нужно привести величины к согласованным единицам. Например, перевести минуты в часы: 30 минут — это ½ часа. Можно также выразить скорость в километрах в минуту, разделив её на 60.
З Задачи о разъездах
