З Задачи о взвешиваниях

Определения и обозначения

Взвешивание — это сравнение массы предметов с помощью весов. Результат показывает, какой из сравниваемых предметов или групп тяжелее, либо что их массы равны. Такое сравнение помогает искать предмет с особой массой, даже если её точное значение неизвестно. Поэтому в задаче важно заранее понять, какие варианты может исключить каждое взвешивание.

Чашечные весы — это весы с двумя чашами, на которые кладут предметы или предметы и гири. По тому, какая чаша опустилась, можно сравнить массу предметов на разных сторонах. Если предметов несколько, сравнивают не только отдельные вещи, но и целые группы. Это удобно, когда нужно быстро сузить круг возможных ответов.

Равновесие — положение чашечных весов, при котором обе чаши находятся на одном уровне. Оно показывает, что массы предметов на чашах одинаковы. Если на одной чаше лежит предмет, который ищут как более тяжёлый, равновесие означает, что его там нет. Поэтому этот исход тоже даёт полезную подсказку, а не означает отсутствие результата.

Гиря — предмет известной массы, который кладут на чашу, чтобы измерить массу другого предмета. Например, предмет можно уравновесить гирями и узнать его массу по их общей массе. Без гирь чашечные весы обычно позволяют только сравнивать предметы, а не получать численное значение массы. Различие помогает выбрать правильный способ решения задачи.

Как это устроено

Сначала нужно выяснить, что именно требуется найти: самый тяжёлый предмет, предмет с массой, отличающейся от остальных, или точную массу. От ответа зависит, какие результаты будут полезны и что нужно положить на чаши. Например, для поиска тяжёлого предмета достаточно сравнивать кандидатов между собой. А для измерения точной массы понадобятся гири известной массы.

При одном взвешивании чашечные весы дают три исхода: левая чаша тяжелее, правая чаша тяжелее или наступает равновесие. Других вариантов нет, потому что чаши либо наклоняются в одну сторону, либо остаются на одном уровне. Каждый исход делит все возможные ответы на группы: подходящие и те, которые уже можно исключить. Поэтому при планировании нужно учитывать не только наклон, но и равновесие.

Чтобы найти нужный предмет за малое число взвешиваний, возможные варианты распределяют по чашам поровну. Причина в том, что у весов три исхода: если один исход оставляет слишком много предметов, поиск может затянуться. Равное деление помогает сделать каждую ветку поиска примерно одинаковой и не оставлять заведомо трудный случай. Так, при поиске одной тяжёлой монеты среди девяти удобно сравнить группы по три.

Если чаши уравновесились, сравниваемые группы имеют одинаковую массу. В задаче, где одна вещь тяжелее всех остальных, это исключает предметы с чаш: они не могли бы образовать равные группы, если тяжёлая вещь была бы только в одной из них. Если равновесия нет, тяжелее группа на опустившейся чаше. Значит, продолжать поиск нужно среди предметов именно этой группы.

План решения лучше составить до начала взвешиваний: перечислить возможные исходы и для каждого указать следующий шаг. Это нужно, чтобы проверить, что ни один результат не оставит несколько предметов, которые уже нельзя различить. В каждой ветке плана число кандидатов должно уменьшаться, пока не останется один ответ. Если хотя бы для одного исхода такого продолжения нет, план следует изменить.

Результаты взвешивания на чашечных весах и их смысл

Пользуйся таблицей после каждого сравнения: сначала определи результат, затем выбери подходящее продолжение поиска. Для задачи, где особый предмет легче, направление поиска будет обратным. Учитывай также, что равновесие — самостоятельный исход.

Разбор задач

Один тяжёлый предмет из трёх

Условие: из трёх внешне одинаковых предметов один тяжелее остальных. Нужно найти его одним взвешиванием. Обозначим предметы буквами А, Б и В, чтобы не перепутать их при сравнении. Поскольку искомый предмет тяжелее, наклон весов укажет на него, если он окажется на чаше.

1. Положим предмет А на левую чашу, а предмет Б — на правую. Предмет В пока не кладём на весы.
2. Если левая чаша опустилась, значит, А тяжелее Б и В. Если опустилась правая, тяжелее Б.
3. Если чаши уравновесились, А и Б одинаковы по массе, поэтому более тяжёлым должен быть оставшийся предмет В.

Ответ: достаточно одного взвешивания; тяжёлый предмет определяется по опустившейся чаше, а при равновесии это третий предмет. План охватывает все три возможных результата весов. Поэтому после сравнения не остаётся двух предметов, которые могли бы быть ответом.

Одна тяжёлая монета из девяти

Условие: среди девяти одинаковых на вид монет одна тяжелее остальных. Нужно найти её не более чем за два взвешивания. Разделим монеты на три равные группы по три: А, Б и В. Сравнение двух групп сразу покажет, в какой из трёх групп находится тяжёлая монета.

1. Положим группы А и Б на разные чаши. Если одна чаша опустится, подозрительна группа на этой чаше; если будет равновесие, подозрительна группа В.
2. Возьмём три монеты из найденной группы и положим по одной на чаши. Если одна чаша тяжелее, искомая монета на ней; если равновесие, это третья монета.

Ответ: монету можно найти за два взвешивания. При первом сравнении среди девяти вариантов остаётся три, при втором — одна. Этот способ работает и тогда, когда первая проверка заканчивается равновесием: тогда для второго шага берём группу, которая не лежала на чашах.

Одна тяжёлая монета из двенадцати

Условие: одна из двенадцати одинаковых на вид монет тяжелее остальных, и нужно найти её не более чем за три взвешивания. Здесь нельзя заранее сравнить все монеты попарно: на это может не хватить попыток. Используем три возможных исхода весов и на каждом шаге стараемся уменьшить число подозреваемых.

1. Разделим монеты на три группы по четыре и сравним две группы. Если одна тяжелее, ищем в ней; если равновесие, ищем в третьей группе.
2. В выбранной четвёрке сравним две монеты с двумя другими. При перевесе нужная пара находится на опустившейся чаше, а при равновесии берём монеты, оставленные в стороне.
3. Из оставшейся пары сравним по одной монете. При наклоне тяжелее монета на опустившейся чаше, а при равновесии это монета, не участвовавшая в последнем сравнении.

Ответ: монету можно найти не более чем за три взвешивания. На первом шаге из двенадцати вариантов остаётся четыре, на втором — два, на третьем — один. При каждом равновесии нужно брать оставленные вне чаш монеты соответствующей группы, поэтому план учитывает все результаты.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любое взвешивание сообщает точную массу. Обычно чашечные весы без гирь только сравнивают предметы, и ученик может принять наклон за численное измерение. Чтобы проверить себя, спроси, есть ли на чаше гири с известными массами и можно ли по результату назвать число. Если таких данных нет, известен только сравнительный результат.

Ошибка: рассматривать только случаи, когда одна чаша тяжелее другой, и забывать про равновесие. Так бывает, если ученик думает лишь о том, куда наклонятся весы, и не проверяет все исходы. Проверь план отдельно для ситуации, когда чаши на одном уровне. Если в этом случае непонятно, где искать дальше, решение не завершено.

Ошибка: класть на чаши разное число одинаковых предметов. Тогда более тяжёлая чаша может оказаться такой из-за большего количества предметов, а не из-за искомой монеты. Убедись, что сравниваемые группы одинаковы по составу и числу предметов, когда задача требует сравнить именно кандидатов. Если группы разные, результат нельзя объяснить только особой массой одного предмета.

Ошибка: начинать взвешивания без плана и не продумывать все возможные исходы. В таком случае после одного из результатов может остаться несколько подозреваемых, которых уже не получится различить. Перед началом перечисли, что делать при левом перевесе, правом перевесе и равновесии. Затем проверь, что каждая ветка приводит к одному ответу за отведённое число шагов.

Связь с другими темами

Для решения задач о взвешиваниях нужно уметь сравнивать массы и понимать, что означает равновесие чаш. Эти умения помогают правильно читать результат, а не пытаться получить от весов больше информации, чем они дают. Если предметов много, можно обозначить их буквами и записать группы. Так проще следить за ходом поиска и не повторять сравнения.

Деление вариантов на группы используют и в других логических задачах, когда нужно найти предмет с особым свойством. Похожий приём помогает выбирать эффективный порядок действий: каждый шаг должен исключать как можно больше неподходящих вариантов. Это связано с поиском решения по алгоритму — заранее заданной последовательности действий. Проверка всех исходов показывает, действительно ли алгоритм приводит к ответу.

Что запомнить

• У чашечных весов три возможных результата: левая чаша тяжелее, правая чаша тяжелее или равновесие.
• Опустившаяся чаша содержит более тяжёлую группу.
• Равновесие исключает варианты, при которых массы на чашах различаются.
• При поиске одного особого предмета полезно делить возможные варианты на равные группы.
• Каждое взвешивание должно помогать исключить часть возможных ответов.
• Решение нужно проверить для каждого возможного результата взвешивания.