Что надо знать о конусе

Определения и обозначения

Конус — геометрическое тело с круглым основанием и одной вершиной вне плоскости основания. Если представить окружность и точку над ней, то соединение этой точки с окружностью образует конус. Это определение помогает отличить объёмное тело от плоского круга.

Основание конуса — круг, ограничивающий его нижнюю часть. Круг включает все точки внутри границы, а не только саму границу. Это нужно помнить, чтобы не путать основание с окружностью.

Вершина конуса — точка, не лежащая в плоскости основания, к которой сходятся боковые линии. На модели это верхняя точка, а на чертеже — точка, от которой расходятся линии боковой поверхности. По положению вершины легко узнать конус.

Высота конуса — отрезок от вершины к плоскости основания, перпендикулярный этой плоскости. Перпендикуляр означает, что отрезок образует с плоскостью прямой угол. Высота нужна, чтобы отличить вертикальное расстояние до основания от наклонного бокового отрезка.

Как это устроено

Чтобы мысленно построить конус, возьми круг и расположи точку вне его плоскости. Теперь соедини эту точку со всеми точками окружности основания. Линии соединения заполняют боковую поверхность, потому что каждая из них идёт от края круга к одной и той же вершине. Так плоская фигура вместе с вершиной превращается в объёмное тело.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности, потому что у тела есть нижняя плоская часть и часть, которая поднимается от её края к вершине. Основание — круг, на который конус можно поставить. Боковая поверхность огибает тело и сужается к вершине. На модели эти части различаются на ощупь: основание плоское, а боковая часть изогнута.

Отрезок от вершины к центру основания будет высотой только тогда, когда он перпендикулярен плоскости основания. Центр находится внутри круга, но одно лишь попадание в центр не доказывает, что отрезок является высотой. Если вершина расположена прямо над центром, отрезок к нему перпендикулярен плоскости и служит высотой. Если конус наклонён, этот отрезок может быть наклонным, а высоту нужно проводить под прямым углом к плоскости основания.

На рисунке сначала найди край круглого основания, затем его центр — точку внутри круга, равноудалённую от точек окружности. Вершина находится вне плоскости круга, обычно над ним, и к ней направлены боковые линии. Радиус основания идёт от центра до окружности, а высота — от вершины к плоскости основания под прямым углом. Пунктир на чертеже часто показывает скрытые части, но не меняет их значения.

Если разрезать конус по боковой поверхности и разложить его на плоскости, получится сектор круга и отдельный круг. Сектор сворачивается так, что его край образует окружность основания, а боковые края сходятся в вершине. Отдельный круг закрывает нижнюю часть модели. Поэтому правильно совмещённые детали развёртки дают конус, а не цилиндр или плоскую фигуру.

Основные части конуса

Пользуйся таблицей, чтобы последовательно назвать части конуса или проверить чертёж. Сначала найди основание и вершину, затем проверь, какой отрезок перпендикулярен основанию. При работе с развёрткой определи, какая деталь станет кругом основания, а какая — боковой поверхностью.

Разбор задач

Назвать основание, вершину и высоту конуса

Условие: на рисунке изображён конус с круглым основанием и отрезком, проведённым от верхней точки вниз к основанию. Нужно назвать три элемента. Необходимо различать точку вершины и центр круга. Также проверь, показан ли прямой угол у высоты.

1. Найди круг в нижней части изображения: это основание конуса. Его границей служит окружность, но основанием считается весь круг.
2. Найди точку вне плоскости основания, от которой расходятся боковые линии. Это вершина конуса, а не центр круга.
3. Найди отрезок от вершины к плоскости основания, образующий с ней прямой угол. Он является высотой; отрезок к краю круга обычно наклонный.

Ответ: основание — круг внизу, вершина — верхняя точка вне его плоскости, высота — перпендикуляр от вершины к основанию. Сначала были определены положение круга и вершины, а затем проверено направление отрезка. Такой порядок помогает не принять боковую линию за высоту.

Выбрать отрезок, который является высотой

Условие: из вершины к основанию проведены несколько отрезков. Один направлен к центру, другой — к краю круга, третий отмечен прямым углом к плоскости основания. Нужно выбрать высоту и объяснить решение. Сравнивай не длины отрезков, а их положение относительно плоскости.

1. Проверь, начинается ли отрезок в вершине конуса. Если он не соединён с вершиной, высотой он быть не может.
2. Посмотри, куда он приходит: высота должна доходить до плоскости основания. Точка окончания может находиться внутри круга, а не обязательно на его краю.
3. Проверь прямой угол между отрезком и плоскостью основания. Только отрезок, который перпендикулярен этой плоскости, является высотой.

Ответ: выбирай отрезок от вершины, отмеченный как перпендикуляр к плоскости основания. Отрезок, идущий к краю круга, является наклонным. Линия к центру подходит только в том случае, если она также перпендикулярна основанию.

Определить модель по развёртке

Условие: даны круг и сектор круга, предназначенные для склеивания. Нужно определить будущую модель и обозначить на ней основание, вершину и высоту. Для ответа проследи, какую форму принимает каждая плоская деталь после сгибания. Представь, как соединятся края сектора.

1. Определи, какая деталь остаётся плоской и круглой. Это будет основание будущей модели.
2. Мысленно сверни сектор: два его боковых края должны встретиться, а дуга образует открытый круглый край. Так появляется боковая поверхность с одной вершиной.
3. После склеивания отметь круг как основание, место соединения краёв сектора как вершину. Высоту проведи от вершины к плоскости основания под прямым углом.

Ответ: из круга и сектора получится конус, если края деталей соединить правильно. Круг станет основанием, а сектор — боковой поверхностью. Высоту на готовой модели нужно определять по прямому углу, а не по наклонному краю.

Типичные ошибки

Некоторые называют окружность основанием конуса, хотя окружность — только граница, а основание включает всю область внутри неё. Так происходит, потому что на чертеже часто виден лишь контур круга. Проверь себя: можно ли закрасить основание как плоскую область? Если да, это круг, ограниченный окружностью.

Другую ошибку допускают, когда высотой считают любой отрезок от вершины к краю основания. Наклонная линия может выглядеть как нужный отрезок, но она не образует прямого угла с плоскостью. Проверь отметку прямого угла или представь, опущен ли отрезок отвесно к основанию. Без перпендикулярности это не высота.

Вершину иногда путают с центром основания, потому что обе точки могут быть обозначены маленькой точкой на рисунке. Вершина находится вне плоскости круга, а центр — внутри него. Чтобы проверить себя, проследи, сходятся ли в точке боковые линии. Если точка лежит в основании, она не является вершиной.

При изготовлении развёртки детали могут соединить не по тем границам, и модель останется незамкнутой или станет другой фигурой. Ошибка возникает, если не представить, какая часть после сгибания образует боковую поверхность, а какая закрывает дно. Перед склеиванием сведи боковые края сектора и проверь, что его дуга совпадает с краем круга основания. Если круг не закрывает нижний край, детали нужно расположить заново.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в конусе, нужно уметь различать круг и окружность, находить центр и радиус, а также понимать, что означает перпендикуляр. Эти понятия помогают читать чертежи и узнавать основные элементы тела. Позже конус можно сравнить с цилиндром и пирамидой: у них по-разному устроены основания и боковые части. Знание развёрток пригодится при изготовлении объёмных поделок из бумаги и картона.

Что запомнить

• У конуса одно круглое основание и одна вершина.
• Боковые линии конуса сходятся в его вершине.
• Высота идёт от вершины перпендикулярно плоскости основания.
• Центр основания находится внутри круга.
• Развёртка конуса состоит из круга и сектора.
• По развёртке можно изготовить объёмную модель конуса.