"Математика", Чекин А.Л.
Натуральные числа, дроби и уравнения помогают описывать количество, выполнять вычисления и находить неизвестные величины. Чтобы уверенно двигаться дальше, нужно вспомнить разрядный состав чисел, смысл числителя и знаменателя, правила действий с дробями и порядок вычислений. Ещё важно уметь решать простые уравнения и проверять ответ подстановкой. Эти знания пригодятся при изучении отношений, пропорций и решении текстовых задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В школьном курсе натуральный ряд обычно начинают с единицы. Сравнивая такие числа, сначала смотрят, сколько в записи цифр, а затем — на значения разрядов. Это помогает понять, какое число больше, не пересчитывая предметы.
Обыкновенная дробь записывается так: a/b, где b ≠ 0. Число сверху, a, — числитель: он показывает, сколько долей взяли; число снизу, b, — знаменатель: он показывает, на сколько равных частей разделили целое. Например, 3/5 — это три доли из пяти равных. Такой смысл нужен, чтобы представлять части целого и выполнять действия с ними.
Десятичная дробь — это дробь, которую записывают с запятой, например 0,37. Цифра сразу после запятой обозначает десятые доли, следующая — сотые, ещё следующая — тысячные. Поэтому 0,37 означает 37 сотых, то есть 37/100. Десятичная запись удобна для сравнения и вычислений с долями, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначаемое буквой. Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным; это значение называют корнем. Например, в уравнении x + 4 = 9 корень равен 5. Подстановка найденного значения помогает проверить решение.
Разрядный состав показывает, сколько в числе единиц, десятков, сотен и других разрядных единиц. Например, в числе 5087 есть 5 тысяч, 0 сотен, 8 десятков и 7 единиц. При сравнении сначала смотрят на старшие разряды: если количество цифр одинаково, сравнивают тысячи, затем сотни, десятки и единицы. Так сравнение 5087 и 5078 доходит до десятков: 8 десятков больше 7 десятков, значит, 5087 больше. Разрядное представление также помогает складывать и вычитать числа по разрядам.
Дробь a/b связана с делением: она показывает результат деления a на b, если деление не обязательно получается целым числом. Например, 3/4 — это 3 : 4. Запись дроби можно изменить, не меняя её значения: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, получится равная дробь. Так, 1/2 = 2/4, потому что обе записи обозначают одну и ту же долю целого. Это свойство позволяет подбирать удобные знаменатели для вычислений.
Десятичная дробь превращается в обыкновенную по разряду последней цифры: 0,6 = 6/10, а 0,25 = 25/100. Затем дробь можно сократить: 25/100 = 1/4. В обратную сторону сначала приводят обыкновенную дробь к знаменателю 10, 100 или 1000, а затем записывают числитель с запятой. Например, 3/5 = 6/10 = 0,6. Если подобрать такой знаменатель нельзя, можно выполнить деление числителя на знаменатель.
Порядок действий нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат для выражения. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Например, в выражении 12 − 2 · 3 сначала находят произведение 2 · 3, а уже после вычитают его из 12. Если поставить скобки, порядок может измениться: (12 − 2) · 3 означает другое вычисление. Поэтому перед счётом полезно определить, какие действия главные.
Равенство остаётся верным, если к обеим его частям прибавить одно и то же число, вычесть его, умножить обе части на одно и то же число или разделить на одно и то же ненулевое число. Это позволяет постепенно оставить неизвестное отдельно. Например, в x + 4 = 9 можно вычесть 4 из обеих частей и получить x = 5. Каждое преобразование должно сохранять равенство, иначе ответ может измениться. В конце подставляют найденное значение в исходное уравнение и сравнивают части.
| Что повторяем | Что означает | Как действовать или проверять | Пример |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа и их сравнение | Числа для счёта предметов | Сравнить число цифр, затем разряды слева направо | 5087 > 5078 |
| Обыкновенная дробь и равные дроби | Часть целого или результат деления | Для сложения привести к общему знаменателю | 1/2 = 2/4 |
| Десятичная дробь и разрядные единицы | Запись долей со знаменателями 10, 100, 1000 | Смотреть на разряд цифры после запятой | 0,25 = 25/100 |
| Порядок действий в выражениях | Правило очередности вычислений | Скобки, умножение и деление, сложение и вычитание | 12 − 2 · 3 = 6 |
| Уравнение и проверка корня | Равенство с неизвестным | Сохранять равенство при преобразованиях, сделать подстановку | x + 4 = 9; x = 5 |
Используйте таблицу как краткую памятку: сначала найдите нужное понятие, затем вспомните его смысл и способ действия. Пример помогает проверить, правильно ли вы применяете правило. Если результат не совпадает, вернитесь к способу проверки и найдите шаг, в котором возникла ошибка.
Сравним числа поразрядно, начиная с самого старшего разряда. У обоих чисел по четыре цифры, поэтому ни одно из них не больше только из-за длины записи. Тысячи совпадают, как и сотни, так что решающими становятся десятки. Единицы сравнивать уже не потребуется.
Ответ: 5087 > 5078.
Складывать числители сразу нельзя: четверти и восьмые части имеют разный размер. Представим обе дроби одинаковыми долями, выбрав знаменатель 8. Для этого заменим 3/4 на равную дробь с числителем и знаменателем, умноженными на 2. После сложения проверим, можно ли сократить результат или представить его смешанным числом.
Ответ: 11/8, или 1 3/8.
Сначала упростим левую часть, чтобы неизвестное было легче отделить. Раскроем скобки: число 3 умножается и на x, и на −2. Затем соберём числовые слагаемые. На каждом шаге будем выполнять одинаковое действие с обеими частями уравнения, а в конце подставим найденный корень в исходную запись.
Ответ: x = 7.
При сравнении натуральных чисел иногда смотрят на последние цифры и забывают проверить количество цифр и старшие разряды. Так можно решить, что число с большей цифрой в единицах обязательно больше, хотя его тысячи могут быть меньше. Сравнивайте числа слева направо, начиная с числа цифр и самого старшего разряда. Для самопроверки разложите запись на разряды и найдите первый разряд, в котором числа отличаются.
При сложении дробей могут отдельно сложить числители и знаменатели, например получить 2/5 + 1/5 = 3/10. Ошибка возникает из-за того, что знаменатель принимают за часть самого числа, хотя он задаёт размер доли. При одинаковых знаменателях складывают только числители, а при разных сначала приводят дроби к общему знаменателю. Проверьте ответ на простом примере: две половины должны составить целое, а не 2/4.
В выражении с несколькими действиями иногда считают строго слева направо и выполняют сложение раньше умножения. Так пропускают приоритет операций, и результат меняется. Сначала отметьте скобки, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание; действия одного уровня выполняйте слева направо. Проверить себя можно, записав очередность действий над выражением до вычисления.
При решении уравнения иногда изменяют только одну его часть или не проверяют полученный корень. В первом случае равенство может перестать быть верным, а во втором ошибка останется незамеченной. Выполняйте одно и то же действие с обеими частями и записывайте каждый переход. Подстановка найденного значения в исходное уравнение покажет, равны ли части.
До повторения нужно уверенно знать таблицу умножения, разрядный состав чисел и смысл деления. Эти знания помогают выполнять вычисления и понимать, откуда берутся правила для дробей и уравнений. Дальше они понадобятся при изучении действий с дробями, отношений и пропорций. Также без них труднее составлять выражения и решать текстовые задачи, где требуется связать условие с вычислениями.
Почему при сложении дробей нельзя складывать знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято. Складывать числители удобно, когда части одинакового размера, поэтому дроби сначала приводят к общему знаменателю. Например, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Как понять, какая из двух дробей больше?
Если знаменатели одинаковые, больше дробь с большим числителем. Если знаменатели разные, можно привести дроби к общему знаменателю и сравнить числители. Ещё можно представить дроби на числовом луче или сравнить их значения.
В каком порядке выполнять действия в длинном выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Если скобки вложены, начинают с самых внутренних.
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным. Найденное значение называют корнем уравнения. Его можно проверить подстановкой вместо неизвестного.
Зачем подставлять найденное значение обратно в уравнение?
Подстановка позволяет проверить, получилось ли верное равенство. Если левая и правая части после вычислений равны, ответ подходит. Если равенство неверно, значит, в решении могла быть ошибка.
Начнём с повторения
