Поупражняемся в вычислении и сравнении величин

Определения и обозначения

Однородные величины — величины одного вида, которые можно непосредственно сравнивать и складывать. Например, длину сравнивают с длиной, а массу — с массой. Это понятие помогает понять, какие величины допустимо объединять в одном вычислении.

Единица измерения — установленная мера, с которой сравнивают величину и выражают её числовое значение. Метры, граммы и минуты — примеры единиц. Единица показывает, что именно означает число, поэтому без неё запись часто неполна.

Именованное число — число вместе с единицей измерения, например 7 м или 25 мин. Число 7 сообщает количество, а метр — вид и размер единицы. Такая запись позволяет отличить длину от времени и правильно выполнять действия.

Перевод единиц — замена одной единицы измерения другой без изменения значения величины. Например, 1 м и 100 см обозначают одну и ту же длину. Перевод нужен, когда величины записаны в разных единицах и их нужно вычислить или сравнить.

Как это устроено

Сравнивать и складывать можно только однородные величины: иначе действие не имеет смысла. Например, длина и масса описывают разные свойства предмета, поэтому сложить их нельзя. Даже у однородных величин перед вычислением нужно согласовать единицы, чтобы числовые значения относились к одной и той же мере. Так, прибавлять 30 см к 2 м удобнее после перевода метров в сантиметры или сантиметров в метры.

В каждой системе единиц есть соотношения между крупными и мелкими мерами. При переходе от крупной единицы к мелкой число увеличивается: один метр состоит из ста сантиметров, поэтому метры умножают на 100. При обратном переходе число уменьшается, и выполняют деление на 100. Для времени, площади и объёма нужно использовать их собственные соотношения: например, 1 ч = 60 мин, а 1 м² = 10 000 см².

Чтобы сложить или вычесть именованные числа, сначала выражают их в одинаковых единицах. Тогда можно выполнить знакомое действие с числовыми значениями, не смешивая разные меры. Например, 2 кг 400 г удобно представить как 2400 г. После вычисления результат при желании переводят обратно в крупные и мелкие единицы, проверяя, чтобы мелкая часть была меньше числа таких единиц в крупной.

При умножении величины на число её единицу сохраняют: если взять длину 5 м три раза, получится 15 м. При делении величины на число единица также сохраняется, если результат можно выразить в этой единице; например, 12 кг : 3 = 4 кг. Если делят одну величину на другую, результат может быть безразмерным или выражаться в новых единицах — это уже зависит от задачи. В записи результата важно указать, что именно получилось.

Величины в разных единицах сравнивают через общую меру. Выбирают единицу, в которой удобно записать обе величины, и переводят их, пользуясь соотношениями между единицами. Затем сравнивают числа: большая числовая запись в одной общей единице означает большую величину. Для площади и объёма общий вид единиц тоже должен совпадать: квадратные метры нельзя напрямую сравнивать с кубическими метрами.

Единицы измерения и действия с величинами

Сначала найди в таблице соотношение именно для нужной величины, а затем реши, в какую единицу удобнее перевести данные. Для площади и объёма используй отдельные соотношения: они отличаются от соотношений для длины. Время тоже имеет особенность: между часом и минутой 60 минут, а не 100.

Разбор задач

Сравнение длин

Сравнить 3 м 8 см и 285 см, записав обе величины в сантиметрах. Удобно выбрать сантиметры, потому что вторая длина уже дана в этой единице. Первую величину переводим целиком, не забывая прибавить оставшиеся 8 см.

1. Переведём метры в сантиметры: 3 м = 3 × 100 см = 300 см.
2. Добавим сантиметры: 300 см + 8 см = 308 см.
3. Сравним числа в одинаковых единицах: 308 > 285.

Ответ: 3 м 8 см > 285 см. Проверка здравого смысла: 3 м — это уже 300 см, поэтому 3 м 8 см действительно больше, чем 285 см.

Общая масса покупки

В магазине купили 2 кг 400 г яблок и 1 кг 750 г груш. Чтобы сложить массы без путаницы, представим обе в граммах: в этой единице удобно выполнить действие, поскольку обе величины содержат килограммы и граммы. После сложения можно снова выделить в ответе килограммы и граммы.

1. Переведём массу яблок: 2 кг = 2000 г, значит, 2 кг 400 г = 2400 г.
2. Переведём массу груш: 1 кг = 1000 г, значит, 1 кг 750 г = 1750 г.
3. Сложим: 2400 г + 1750 г = 4150 г.
4. Переведём результат: 4150 г = 4 кг 150 г.

Ответ: общая масса покупки — 4 кг 150 г. Проверим: 2 кг 400 г + 1 кг 750 г — это немного больше 4 кг, и полученный ответ подходит.

Площадь площадки

Прямоугольная площадка имеет длину 8 м и ширину 6 м. Нужно найти её площадь и сравнить с площадью другой площадки, заданной в квадратных дециметрах. Поскольку стороны измерены в метрах, площадь сначала получим в квадратных метрах, а затем переведём в квадратные дециметры для сравнения.

1. Найдём площадь прямоугольника: 8 м × 6 м = 48 м².
2. Переведём площадь в квадратные дециметры: 1 м² = 100 дм², поэтому 48 м² = 4800 дм².
3. Сравним 4800 дм² с площадью второй площадки, если она дана в квадратных дециметрах: сравниваем числовые значения в одной единице.

Ответ: площадь первой площадки равна 48 м², или 4800 дм². Числового значения площади второй площадки в условии нет, поэтому определить, какая площадка больше, нельзя; для сравнения нужно подставить это значение и сопоставить его с 4800 дм².

Типичные ошибки

Складывают или сравнивают числа с разными единицами без предварительного перевода. Так, запись 2 м > 150 см по сравнению чисел 2 и 150 даёт неверный вывод, потому что единицы не совпадают. Ошибку допускают, когда обращают внимание только на числа; проверка проста — перевести обе величины, например в сантиметры.

При переходе к более мелкой единице делят вместо умножения или неверно вспоминают соотношение. Из-за этого величина может неожиданно уменьшиться, хотя мелких единиц в ней должно стать больше. Проверь направление на простом примере: 1 м = 100 см, значит, число сантиметров больше числа метров.

Для площади или объёма используют обычные единицы длины. Например, площадь записывают в метрах, хотя при умножении длины на ширину получаются квадратные метры. Такое происходит, если не учитывать, что перемножаются две длины; проверь обозначение по действию: м × м = м², а три измерения дают м³.

Записывают результат без единицы или соединяют несовместимые единицы в одной записи. Например, ответ 12 вместо 12 кг не сообщает, что именно измерили, а сложение метров с минутами бессмысленно. Ошибка возникает из-за спешки; перечитай условие и проверь, что единица результата соответствует искомой величине.

Связь с другими темами

Для работы с величинами нужны таблицы единиц длины, массы, времени, площади и объёма, а также умножение и деление натуральных чисел. Эти знания применяются в текстовых задачах о покупках, расстояниях, продолжительности событий, площади и объёме. Позже те же правила помогут работать с дробными и десятичными значениями величин и решать практические задачи, где измерения записаны не целым числом.

Что запомнить

• Сравнивать и складывать можно только однородные величины.
• Перед вычислением величины приводят к одной единице.
• При переходе к более мелким единицам число увеличивается.
• При переходе к более крупным единицам число уменьшается.
• Площадь выражают в квадратных единицах, а объём — в кубических.
• В ответе обязательно указывают единицу измерения.
• После вычисления полезно оценить, правдоподобен ли результат.