Составление и разрезание фигур

Определения и обозначения

Составление фигуры — объединение нескольких частей так, чтобы они образовали заданную фигуру. Части можно передвигать и поворачивать, но нельзя растягивать или менять их форму. Это понятие нужно, чтобы решать задачи, где из имеющихся элементов требуется получить новую фигуру.

Разрезание фигуры — разделение фигуры на части по выбранным линиям. После разреза части должны быть отделены друг от друга, а вместе составлять исходную фигуру. Это помогает изучать устройство фигуры и готовить её части для последующего составления.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением: их форма и размеры совпадают. Совмещение допускает перемещение и поворот, но не изменение размеров. Проверка на равенство нужна, например, чтобы понять, делит ли линия фигуру на одинаковые части.

Равновеликие фигуры — фигуры, имеющие одинаковую площадь, даже если их форма различается. Например, длинный прямоугольник и квадрат могут занимать одинаковую площадь. Это понятие позволяет сравнивать фигуры по количеству занимаемого места, не требуя совпадения их контуров.

Как это устроено

Чтобы составить новую фигуру из частей, сначала представь её контур и подбери положение каждой части. Стороны, которые должны соединиться, нужно совместить: тогда части образуют цельную фигуру, а не набор отдельных элементов. Проверь также, что части не перекрываются и между ними не остаётся промежутков, иначе полученная фигура не будет состоять ровно из заданных частей. Удобно мысленно поворачивать детали или делать набросок, сохраняя их форму и размеры.

Чтобы разрезать фигуру на заданное число частей, наметь линии, по которым она будет разделена. Затем проследи путь каждой линии: она должна проходить внутри фигуры так, чтобы отделить одну часть от другой. Если линия лишь касается границы или заканчивается внутри фигуры, не отделив участок, нужного разрезания может не получиться. Число частей проверяй после каждого разреза: один разрез не всегда увеличивает их количество ровно на одну, если его положение выбрано неправильно.

Площадь целой фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей, потому что разрезание не убирает и не добавляет материал. Если части не накладываются одна на другую, каждая точка исходной фигуры принадлежит какой-либо части. Поэтому можно найти площади частей по отдельности и сложить их, либо использовать известную площадь целой фигуры. Промежуток или перекрытие нарушили бы это рассуждение: в первом случае часть площади потерялась бы, во втором — была бы посчитана дважды.

Чтобы определить, равны ли полученные части, сравни их форму и размеры. Мысленно перемести или поверни одну часть и проверь, совпадают ли её границы с границами другой. Если совпадение полное, фигуры равны; если совпадают только площади, они лишь равновелики. Такой способ надёжнее сравнения по внешнему виду: повернутые одинаковые детали могут казаться разными, хотя полностью совмещаются.

Разрезание и составление помогают сравнивать фигуры разной формы. Если одну фигуру можно разрезать на части, а затем без перекрытий и промежутков собрать из них другую, площади этих фигур равны. Причина в том, что при перестройке не исчезает ни одна часть и не появляется новая. При этом внешний контур может стать длиннее или короче, поэтому равная площадь сама по себе не означает равный периметр.

Составление и разрезание фигур

В таблице собраны основные действия и то, что можно проверить или узнать при каждом из них. Начинай с колонки «Действие», а затем используй остальные колонки как подсказку для проверки результата. Если нужно сравнить фигуры, отдельно выясни, требуется ли равенство формы и размеров или достаточно одинаковой площади.

Разбор задач

Квадрат разрезали по диагонали. Назовите полученные части и сравните их.

Решение

1. Диагональ соединяет две противоположные вершины квадрата и делит его на две части.
2. У каждой части три стороны, значит, обе части — треугольники.
3. Стороны квадрата, прилегающие к диагонали, равны. У полученных треугольников также общая диагональ, поэтому их можно совместить наложением.

Ответ: получились два равных треугольника.

Из четырёх одинаковых квадратов составьте прямоугольник и найдите его периметр, если сторона каждого квадрата равна 2 см.

Решение

1. Расположим четыре квадрата в один ряд, соединяя их сторонами. Перекрытий и промежутков нет, поэтому составленная фигура — прямоугольник.
2. Его длина равна четырём сторонам квадрата: 4 · 2 = 8 см. Ширина равна стороне одного квадрата, то есть 2 см.
3. Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон: P = 2 · (8 + 2) = 20 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 20 см.

Прямоугольник размером 6 см на 4 см разрежьте на две части так, чтобы из них можно было составить квадрат. Найдите площадь квадрата.

Решение

1. Нужно использовать обе части полностью, не накладывая их друг на друга и не оставляя промежутка. Тогда площадь квадрата будет равна площади исходного прямоугольника.
2. Найдём площадь прямоугольника: 6 · 4 = 24 см². Значит, площадь составленного квадрата тоже равна 24 см², независимо от того, как изменится его контур.
3. Если требуется узнать длину стороны, обозначим её a. Для квадрата площадь равна a², поэтому a² = 24 и a = √24 = 2√6 см.

Ответ: площадь квадрата равна 24 см²; его сторона — 2√6 см. Разрез и перестановку частей выбирают так, чтобы части составили квадрат без наложений и промежутков.

Типичные ошибки

Ошибка — считать фигуры равными только потому, что у них одинаковая площадь. Так думают, когда смешивают понятия «равные» и «равновеликие», но равная площадь не гарантирует совпадения формы. Проверь себя: можно ли совместить фигуры наложением после перемещения или поворота? Если нельзя, они не равны, даже если занимают одинаковую площадь.

При составлении иногда накладывают части друг на друга или оставляют между ними промежутки. Такое происходит, когда смотрят только на общий силуэт и не проверяют стыки. Проведи взглядом по всем границам частей: каждая должна встретиться с соседней нужной стороной, а вся площадь деталей должна быть использована ровно один раз.

Не любой проведённый отрезок делит фигуру на две части. Если он проходит только снаружи, касается фигуры в одной точке или не отделяет внутреннюю область, разрез не выполнен. Проверь, что линия проходит внутри фигуры и после неё действительно образуются две отдельные области.

Ещё одна ошибка — считать, что при перестроении частей сохраняются и площадь, и периметр. Площадь остаётся прежней, потому что используются те же части, а периметр может измениться из-за нового внешнего контура. Чтобы не перепутать эти величины, сначала определи, что именно спрашивается, и не переноси значение периметра исходной фигуры на новую.

Связь с другими темами

Для работы с фигурами нужно узнавать основные геометрические формы, измерять стороны и находить площадь прямоугольника и квадрата. Эти умения помогают проверить размеры частей и сравнить площадь собранной фигуры с площадью исходной. Например, площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину, а квадрата — умножением стороны на саму себя.

Разрезание и составление пригодятся в задачах на площадь, периметр и сравнение фигур. Перестройка частей позволяет установить равенство площадей, а изучение нового контура — понять, почему изменился периметр. Такие задачи связывают геометрические действия с вычислениями и требуют объяснить, почему результат верен.

Что запомнить

• При разрезании фигуры её площадь не меняется.
• Площадь целой фигуры равна сумме площадей неперекрывающихся частей.
• Равные фигуры совпадают при наложении.
• Равновеликие фигуры имеют одинаковую площадь, но могут различаться формой.
• Перестановка частей может изменить форму и периметр фигуры, но не её площадь.