"Математика", Чекин А.Л.
Умножить число на произведение можно двумя способами: сначала вычислить произведение в скобках, а затем умножить на полученное число или сначала умножить исходное число на один из множителей. Оба способа дают один и тот же результат благодаря сочетательному свойству умножения. Это правило помогает не только выполнять вычисления, но и выбирать удобный порядок действий: например, сначала получить 10, 100 или другое простое для счёта число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение чисел — результат умножения; например, в записи 3 · 4 произведением называют число 12. Числа, которые перемножают, называются множителями: в записи a · b множители — a и b. Эти слова помогают понять, из каких частей состоит выражение и какие числа предстоит умножить.
Множители произведения — числа, которые перемножают между собой. В записи a · (b · c) число a умножают на произведение b и c. Скобки показывают, что b и c сначала рассматривают как отдельное произведение; так легче следить за порядком вычислений и не пропустить ни один множитель.
Умножение числа на произведение — действие, которое выполняют, например, в выражении a · (b · c). Можно сначала найти произведение в скобках или сначала умножить a на один из множителей. Знание двух способов нужно, чтобы не зависеть от одного порядка действий и выбирать вариант, при котором считать проще.
Сочетательное свойство умножения — правило, по которому группировку трёх множителей можно менять: a · (b · c) = (a · b) · c. Оно объясняет, почему можно сначала перемножить любую удобную пару чисел. При этом сами множители остаются в произведении, а меняется только то, какие из них считают вместе.
Чтобы умножить число на произведение, можно сначала вычислить произведение в скобках, а затем умножить на полученный результат. Например, в a · (b · c) сначала находят b · c, после чего умножают на a. Такой порядок удобен, если произведение в скобках легко вычислить или его результат несложно умножить на a.
Равенство a · (b · c) = (a · b) · c основано на том, что оба способа дают одно и то же произведение трёх чисел. Если представить умножение как сложение одинаковых групп, то число групп и количество предметов в каждой из них не меняют общего количества при ином объединении групп. Поэтому разрешено изменить скобки, но нельзя потерять множитель или заменить его другим.
Можно сначала умножить исходное число на любой множитель произведения, а затем результат — на оставшийся множитель. Например, вместо того чтобы сначала считать b · c, можно получить a · b и умножить на c. Этот переход позволяет выбрать для первого действия пару чисел, которую легче перемножить, а затем продолжить вычисление с оставшимся числом.
Порядок вычислений стоит выбирать так, чтобы промежуточный результат был удобным. Если среди множителей есть числа 25 и 4, их произведение равно 100; умножить на 100 часто проще, чем выполнять действия в исходной группировке. Причина не в том, что один способ меняет выражение, а в том, что разные промежуточные числа требуют разной сложности счёта.
Если множителей больше двух, группировку можно менять последовательно, каждый раз пользуясь сочетательным свойством. Например, в произведении a · b · c · d сначала можно объединить a и d, если их произведение удобно получить после перестановки множителей. При этом переместительное свойство позволяет менять числа местами, а сочетательное — объединять их в пары; вместе эти правила помогают выстраивать удобный порядок вычислений.
| Что требуется | Первый способ | Второй способ | Когда удобно |
|---|---|---|---|
| Запись действия | a · (b · c) | (a · b) · c или a · (b · c) = (a · b) · c | Выбор группировки множителей |
| Порядок вычислений | Сначала вычислить произведение в скобках | Сначала умножить исходное число на один множитель | Когда один из способов упрощает счёт |
В таблице сравниваются не разные значения выражения, а два порядка действий для одних и тех же множителей. Выбери тот способ, где первое произведение проще посчитать. Затем проверь, что оставшийся множитель тоже учтён.
Во всех задачах полезно сначала посмотреть на множители и решить, какое произведение будет удобнее вычислить первым. Скобки можно изменить по сочетательному свойству, но каждое число исходного выражения должно остаться в вычислении. Покажем это на примерах: сначала действуем прямо по записи, а затем подбираем выгодную группировку.
Задача 1. Вычислите 3 · (4 · 5). В скобках уже выделена пара 4 и 5, и её произведение легко найти. Поэтому сначала выполняем действие в скобках, а потом умножаем результат на 3.
Ответ: 60. Проверка другим способом: (3 · 4) · 5 = 12 · 5 = 60. Оба вычисления содержат те же три множителя и приводят к одному результату.
Задача 2. Вычислите 25 · (4 · 7) удобным способом. Если следовать скобкам, сначала получится 4 · 7 = 28, а затем придётся умножать 25 на 28. Можно сгруппировать иначе: 25 и 4 дают 100, а умножение на 100 выполнить легко.
Ответ: 700. Здесь не изменился набор множителей — мы только выбрали, какую пару перемножить первой. Так удалось избежать промежуточного умножения 25 на 28.
Задача 3. Вычислите 8 · (125 · 13) двумя способами и сравните количество действий. Сначала используем порядок, указанный скобками, а затем найдём более удобную группировку. В обоих случаях нужно перемножить три исходных числа, поэтому результаты должны совпасть.
Ответ: 13 000. В обоих способах выполнено по два умножения, поэтому число действий одинаковое. Однако второй способ удобнее: произведение 8 · 125 легко распознать, а последующее умножение на 1000 не требует громоздкого счёта.
Первая ошибка — менять порядок множителей и считать, что это то же самое, что менять группировку. Порядок разрешает менять переместительное свойство, а сочетательное позволяет менять скобки; путаница возникает потому, что оба действия помогают перестроить вычисление. Для проверки запиши, какая именно пара чисел перемножается первой, и убедись, что перестановка или группировка обоснована нужным свойством.
Вторая ошибка — умножить исходное число только на один множитель и остановиться. Например, в 3 · (4 · 5) вычислить 3 · 4 недостаточно: число 5 тоже входит в исходное выражение. Такая ошибка часто появляется, когда внимание сосредоточено на удобной паре; проверь, что в записи решения остался каждый исходный множитель.
Третья ошибка — снять скобки, не сохранив все множители, и тем самым изменить значение выражения. Скобки можно переставить или убрать лишь так, чтобы произведение оставалось произведением тех же чисел. Сверь запись до и после преобразования: набор множителей должен совпадать, а если изменился их порядок, это должно быть осознанное применение переместительного свойства.
Четвёртая ошибка — выбрать неудобную группировку и получить громоздкие промежуточные числа. Обычно это происходит, если вычисления начинают механически, не посмотрев на все множители. Перед счётом попробуй найти пару, которая даёт круглое число, а в конце проверь результат другим порядком действий, если это не слишком сложно.
Для этой темы нужны понятия множителя и произведения, а также умение умножать натуральные числа. Сочетательное свойство связано с переместительным: первое помогает менять группировку, второе — переставлять множители. Вместе эти правила позволяют выбирать порядок вычислений в произведениях из нескольких чисел.
Навык перегруппировки пригодится при устном счёте и упрощении выражений с несколькими множителями. Например, если среди чисел можно получить 10 или 100, дальнейшие действия часто становятся проще. Важно при этом сохранять все множители исходного произведения.
Как умножить число на произведение?
Можно сначала вычислить произведение в скобках, а затем умножить на исходное число. Например, 3 · (4 · 5) = 3 · 20 = 60. Также можно сначала перемножить исходное число с одним множителем, а потом умножить результат на оставшийся.
Можно ли сначала умножить число на один из множителей?
Да, это следует из сочетательного свойства: a · (b · c) = (a · b) · c. После умножения на один множитель нужно обязательно умножить результат на второй. Например, 3 · (4 · 5) = (3 · 4) · 5.
Почему при изменении группировки результат не меняется?
При любом способе группировки перемножаются одни и те же числа. Сочетательное свойство говорит, что результат умножения от группировки не зависит. Поэтому можно сначала вычислить любую удобную пару множителей.
Можно ли менять местами множители и группировать их одновременно?
Да, но это опирается на два разных свойства. Переставлять множители позволяет переместительное свойство, а менять их группировку — сочетательное. Нужно сохранить все множители и проверить, что каждый из них учтён.
Как выбрать удобный порядок вычислений?
Посмотри, какие множители дадут круглое или легко вычисляемое число, например 10 или 100. Сначала перемножь их, а затем умножь на оставшийся множитель. Можно проверить результат другим способом группировки.
Умножение числа на произведение
