"Математика", Чекин А.Л.
Деление помогает узнать неизвестный множитель по произведению и другому множителю, а также выяснить, сколько раз одна величина содержится в другой. Во втором случае деление называют измерением: например, так узнают, сколько отрезков заданной длины поместится на более длинном отрезке. Частное проверяют умножением делителя на результат, а при вычислениях с величинами сначала согласуют единицы измерения. На ноль делить нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, которое позволяет по произведению и одному из множителей найти другой множитель. Например, если известно, что 4 · 5 = 20, то 20 : 4 = 5. Деление помогает находить неизвестное число в равенстве с умножением. Поэтому полезно помнить связь этих двух действий.
Делимое — число, которое делят; делитель — число, на которое делят; частное — результат деления. В записи 20 : 4 = 5 делимое — 20, делитель — 4, частное — 5. Эти названия помогают правильно составить выражение по условию задачи. Сначала определи, какую величину делят и какой величиной её измеряют.
Деление как измерение — выяснение, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, вопрос «Сколько раз число 4 содержится в 20?» означает, что нужно найти число мер по 4 в величине 20. Для этого вычисляют 20 : 4. Такое понимание особенно удобно в задачах о длинах и других величинах.
Деление связано с умножением: если a : b = c, то b · c = a. Это следует из смысла деления: частное c — именно тот множитель, на который нужно умножить b, чтобы получить a. Поэтому результат можно проверить обратным действием. Если произведение b · c не равно a, значит, в вычислении или записи допущена ошибка.
Когда деление понимают как измерение, выясняют, сколько мер одной величины помещается в другой. Например, чтобы узнать, сколько отрезков длиной b укладывается в отрезке длиной a, вычисляют a : b. Причина в том, что делитель задаёт размер одной меры, а делимое — общую длину, которую нужно этой мерой измерить. Частное показывает количество таких мер.
Частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом, и поэтому оно не всегда больше единицы. Если делимое меньше делителя, целая мера не укладывается в нём полностью, а результат деления меньше 1. Например, 2 : 5 = 0,4. Это число означает, что величина 2 составляет четыре десятых от величины 5.
При делении чисел с единицами измерения частное может выражать отношение величин или количество мер. Например, отношение 15 см к 3 см равно 5: сантиметровые единицы сокращаются, и ответ показывает число отрезков. Если же делят величины разных единиц, числовые значения нельзя сразу сравнивать. Поэтому единицы сначала переводят к одной мере, а затем объясняют, что означает результат.
Деление на ноль невозможно, потому что деление ищет неизвестный множитель. Если делимое ненулевое, не существует числа, которое при умножении на 0 даст это делимое: произведение любого числа на 0 равно 0. Поэтому выражение вроде 7 : 0 не имеет значения. Ноль не может быть делителем.
| Что выясняем | Запись | Смысл частного | Проверка |
|---|---|---|---|
| Сколько раз делитель содержится в делимом | Делимое : делитель | Количество мер делителя в делимом | Делитель · частное = делимое |
Сначала прочитай вопрос и определи, какую величину нужно измерить и какая величина служит мерой. Затем запиши делимое первым, а делитель — вторым. После вычисления проверь частное умножением.
Нужно выяснить, сколько одинаковых мер по 4 помещается в 20. Это задача на деление как измерение, поэтому 20 будет делимым, а 4 — делителем. Для проверки умножим найденное количество мер на 4.
Ответ: число 4 содержится в числе 20 пять раз.
Общую длину нужно измерить отрезками по 3 см. Обе величины выражены в сантиметрах, поэтому можно сразу составить частное 15 : 3. Результат покажет количество отрезков, а умножение поможет проверить, что они заполняют всю длину.
Ответ: можно отложить 5 отрезков длиной 3 см.
Чтобы узнать количество частей, длину всей ленты нужно разделить на длину одной части. Но сначала требуется выразить обе длины в одинаковых единицах: сравнивать 2 метра и 25 сантиметров без перевода неудобно. После перевода частное покажет число отрезков, а проверка подтвердит, что их общая длина равна длине ленты.
Ответ: получится 8 отрезков.
Ошибка — считать, что деление всегда означает распределение предметов по равным группам. Её допускают, потому что часто встречаются задачи, где нужно поровну раздать предметы. При измерении же выясняют количество мер в общей величине. Чтобы проверить себя, спроси: известно ли количество групп или требуется узнать, сколько раз одна мера помещается в другой?
Если перепутать делимое и делитель, числа в выражении окажутся в неправильном порядке. Это происходит, когда ученик не определил, какую величину измеряют и что служит мерой. Перед вычислением подпиши роли чисел: общая величина — делимое, размер одной меры — делитель. Затем проверь, отвечает ли полученное частное на вопрос задачи.
Деление величин с разными единицами без перевода даёт неверное истолкование ответа. Например, в задаче о ленте нельзя просто делить число метров на число сантиметров, не согласовав единицы. Ошибку предотвращает перевод обеих величин в сантиметры, метры или другую общую единицу. Проверь, что единицы делимого и делителя совпадают до деления.
Некоторые считают ноль обычным делителем и пытаются выполнить деление на него. Так происходит из-за привычки применять знакомое действие к любым числам, но для деления должен существовать обратный множитель. Проверка умножением показывает невозможность: никакое число, умноженное на 0, не даст ненулевое делимое. Увидев ноль после знака деления, остановись: такое выражение не имеет значения.
Чтобы понимать деление, нужно знать умножение и видеть, как эти действия связаны: деление помогает найти неизвестный множитель, а умножение проверяет ответ. Для задач на измерение пригодятся навыки измерения величин и перевода единиц, например метров в сантиметры. Такой способ рассуждать встречается не только в задачах о длине, но и при сравнении массы и времени. Позже деление как измерение поможет разбираться с дробями и отношениями.
Что показывает частное при делении как измерении?
Оно показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, частное 20 : 4 = 5 означает, что число 4 укладывается в 20 пять раз.
Чем деление как измерение отличается от распределения на равные группы?
При распределении известно число групп, а деление помогает найти, сколько предметов попадёт в каждую. При измерении известна величина одной меры, и нужно узнать, сколько таких мер помещается в общей величине.
Как проверить результат деления?
Умножь делитель на полученное частное. Если произведение равно делимому, деление выполнено верно.
Почему перед делением величин нужно привести их к одной единице?
Иначе числа выражают разные по размеру единицы, и их отношение нельзя правильно истолковать. Перевод в одинаковые единицы позволяет делить числовые значения и понять, сколько мер содержится в величине.
Можно ли делить на ноль?
Нет. При делении a : 0 пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно a, но любое число, умноженное на 0, даёт 0.
Деление и измерение
