Деление. Знак

Определения и обозначения

Частное — результат деления. Например, в записи a : b = c число c является частным. Деление связано с умножением: b · c = a, поэтому, чтобы найти частное, ищут число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Делимое — число, которое делят, а делитель — число, на которое делят. В записи a : b число a — делимое, b — делитель. Делитель не может быть равен нулю: иначе деление не имело бы определённого результата.

Деление рациональных чисел — действие, при котором сначала делят модули чисел, а затем определяют знак частного. Модуль числа — расстояние от него до нуля, поэтому он не бывает отрицательным. Такой способ позволяет не путать вычисление величины частного с определением его знака.

Правило знаков при делении определяет, каким будет знак результата: при одинаковых знаках частное положительно, а при разных — отрицательно. Например, и (+) : (+), и (−) : (−) дают положительное частное. Правило нужно применять до вычисления модулей, чтобы не потерять знак ответа.

Как это устроено

Чтобы понять смысл частного, удобно обратиться к обратному действию — умножению. Если a : b = c, то c должно быть таким числом, что b · c = a. Поэтому при делении мы не угадываем знак и величину результата по отдельности, а ищем подходящее число для проверки умножением. Например, 20 : 5 = 4, потому что 5 · 4 = 20.

При делении чисел с одинаковыми знаками частное получается положительным. Если делимое и делитель положительны, знак результата очевиден: положительное число, умноженное на положительное, даёт положительное. Если оба числа отрицательны, то положительное частное при умножении на отрицательный делитель даст отрицательное делимое. Поэтому в обоих случаях делят модули, а результат записывают со знаком плюс.

При разных знаках частное отрицательное. Это следует из связи деления с умножением: отрицательное число, умноженное на положительное, даёт отрицательное; и положительное число, умноженное на отрицательное, тоже даёт отрицательное. Значит, отрицательный результат нужен, чтобы произведение частного и делителя имело знак делимого. Модули при этом делят обычным способом.

Дробные и десятичные числа делят по тому же правилу: отдельно определяют знак, затем вычисляют частное модулей. При делении дробей можно заменить деление умножением на обратную дробь. Чтобы разделить десятичные числа, удобно перенести запятые, умножив оба числа на одну и ту же степень 10: частное не изменится, потому что делимое и делитель изменены одинаково. Например, 2,4 : 0,6 можно заменить на 24 : 6.

Деление на ноль не определено. Если делитель равен нулю, пришлось бы найти число, произведение которого на ноль равно делимому. Но любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, поэтому для ненулевого делимого такого числа не существует. Если делимое тоже ноль, подошло бы любое число, и единственного частного не было бы.

Знак частного в зависимости от знаков делимого и делителя

Найди в таблице строку, в которой совпадают знаки делимого и делителя, или строку с разными знаками. В столбце «Знак частного» сразу виден знак ответа, а пример помогает проверить правило. После этого остаётся разделить модули чисел.

Разбор задач

Вычислите 24 : 6.

Оба числа положительные, поэтому знаки частного и делителя одинаковые, а частное будет положительным. Теперь нужно найти, сколько раз 6 содержится в 24. Проверим результат умножением: произведение частного на делитель должно дать делимое.

1. Определяем знак: числа положительные, значит, частное положительное.
2. Делим модули: 24 : 6 = 4.
3. Проверяем: 4 · 6 = 24.

Ответ: 4.

Вычислите −35 : 7 и 35 : (−7).

В каждом примере одно число отрицательное, а другое положительное, поэтому оба частных будут отрицательными. Модули делимого и делителя одинаковы в обеих записях: 35 и 7. Их частное равно 5, после чего к результату нужно приписать знак минус.

1. В выражении −35 : 7 знаки разные, значит, частное отрицательное.
2. Делим модули: 35 : 7 = 5, поэтому −35 : 7 = −5.
3. В выражении 35 : (−7) знаки тоже разные, а модули дают 35 : 7 = 5.
4. Ставим минус: 35 : (−7) = −5.

Ответ: −5 и −5.

Вычислите (−2,4) : 0,6.

Знаки чисел разные, поэтому частное должно быть отрицательным. Для вычисления модулей удобно избавиться от запятых: умножим и делимое, и делитель на 10. Частное не изменится, потому что оба числа увеличатся во столько же раз.

1. Определяем знак: −2,4 и 0,6 имеют разные знаки, значит, ответ отрицательный.
2. Умножаем оба модуля на 10: 2,4 : 0,6 = 24 : 6.
3. Вычисляем: 24 : 6 = 4.
4. Возвращаем определённый знак: (−2,4) : 0,6 = −4.

Ответ: −4.

Типичные ошибки

• При разных знаках иногда ставят плюс, потому что смотрят на числа по отдельности, а не сопоставляют их знаки. Проверь: если знаки разные, частное отрицательное. Умножение найденного частного на делитель должно дать делимое с нужным знаком.

• Можно решить, что деление двух отрицательных чисел даёт отрицательный ответ, перенося знак минус без проверки. Но одинаковые знаки дают положительное частное. Например, проверь равенство (−12) : (−3) = 4 умножением: 4 · (−3) = −12.

• Иногда начинают делить модули и забывают определить знак результата. Так легко записать правильную величину с неверным знаком. Перед вычислением сравни знаки делимого и делителя, а после вычисления проверь знак умножением.

• Деление на ноль порой пытаются записать как ноль, хотя нулевым может быть только результат деления нуля на ненулевое число. Для проверки используй связь с умножением: никакое число, умноженное на ноль, не даст ненулевое делимое, а при нулевом делимом решение не единственно.

Связь с другими темами

Для деления рациональных чисел пригодятся деление натуральных чисел и дробей, понятие модуля и правила умножения чисел с разными знаками. Если уверенно делить положительные числа и понимать, как знаки ведут себя при умножении, правило деления легче объяснить и запомнить. Деление понадобится при сокращении дробей, решении уравнений и выполнении действий с рациональными числами. Во всех этих случаях важно учитывать и модуль, и знак результата.

Что запомнить

• Делить на ноль нельзя.
• Знак частного при одинаковых знаках — плюс.
• Знак частного при разных знаках — минус.
• Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
• Сначала определяй знак частного, затем вычисляй модули.