Прямая и луч

Определения и обозначения

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. На листе можно изобразить только её часть, поэтому на концах ставят стрелки. Две различные точки на прямой позволяют назвать её двумя буквами, например прямая AB.

Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. Он идёт от начальной точки в одном выбранном направлении и продолжается бесконечно. Луч обозначают двумя буквами, например AB.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается только в одном направлении. В записи луча эта точка всегда стоит первой: в луче AB начало — A. Это помогает отличать направление луча от противоположного.

Принадлежность точки показывает, лежит ли точка на данной фигуре. Если точка находится прямо на изображённой линии, она принадлежит прямой или лучу; если в стороне — не принадлежит. Для луча дополнительно проверяют, находится ли точка после начала в нужном направлении.

Как это устроено

Через любые две различные точки можно провести единственную прямую, потому что две точки задают одно направление и одно положение линии. Если попытаться провести через них другую прямую, она должна пройти через те же точки и совпасть с первой. Поэтому прямую называют по этим точкам, например прямой AB. Одна точка сама по себе прямую не определяет: через неё можно провести много разных линий.

Чтобы получить луч из прямой, выбирают на ней точку и одно из двух направлений. Выбранная точка становится началом, а часть прямой по выбранную сторону от неё — лучом. Вторая точка на этой части помогает записать направление. Если начало A, а направление идёт через B, получается луч AB.

Прямая продолжается в обе стороны, потому что у неё нет выделенной начальной точки и нельзя остановить её в каком-то месте. У луча одна граница выделена: это начало, поэтому продолжение остаётся только с одной стороны. Вторая сторона прямой от начала образует другой, противоположно направленный луч. Эти два луча имеют общее начало, но не являются одним лучом.

Порядок букв в названии луча имеет смысл. Первая буква называет его начало, а вторая показывает, куда направлен луч, поэтому AB и BA обычно обозначают разные лучи. Если поменять буквы местами, начало переносится в другую точку. Совпадение возможно только тогда, когда обе записи указывают одно начало и одно направление.

На рисунке прямую изображают линией со стрелками на обоих концах, а луч — линией с одной начальной точкой и стрелкой с другой стороны. Стрелка не означает, что фигура заканчивается в этом месте: она показывает неограниченное продолжение. Начало луча обычно отмечают точкой и подписывают буквой. Так рисунок передаёт свойства бесконечных фигур, хотя сам лист ограничен.

Сравнение прямой и луча

Сначала определите, есть ли у фигуры начальная точка и куда она продолжается. Затем проверьте обозначение: у луча особенно важно положение первой буквы. Таблица помогает быстро отличить прямую от луча и не спутать их с отрезком.

Разбор задач

Точки на прямой

Условие. На рисунке отмечены точки A, B и C: точки A и B лежат на одной линии, а C расположена в стороне от неё. Нужно определить, какие точки лежат на прямой AB. Сначала связываем название прямой с точками, через которые она проходит.

Решение.

1. Проводим мысленно линию через A и B и называем её прямой AB.
2. Проверяем положение каждой точки относительно этой линии.
3. Точки A и B лежат на прямой по условию, а C находится вне линии.

Ответ: на прямой AB лежат A и B; точка C прямой AB не принадлежит.

Построение луча

Условие. Нужно начертить луч с началом в точке A, проходящий через точку B, и записать его обозначение. Важно не просто соединить точки, а продолжить линию за B в том же направлении.

Решение.

1. Отмечаем точку A и проводим через неё линию в сторону точки B.
2. Ставим на этой линии точку B, а за ней рисуем стрелку.
3. Записываем луч AB, потому что A — начало, а B задаёт направление.

Ответ: построен луч AB с началом в A, направленный через B.

Совпадающие лучи

Условие. На одной прямой отмечены точки A, B и C, причём B находится между A и C. Нужно записать все лучи с началом в B, заданные этими точками, и определить совпадающие. Сначала перечисляем допустимые записи, затем сравниваем направления.

Решение.

1. Начало должно быть B, поэтому возможны лучи BA и BC.
2. Луч BA направлен от B в сторону A, а луч BC — от B в сторону C.
3. Так как A и C находятся по разные стороны от B, эти лучи направлены противоположно и не совпадают.

Ответ: лучи BA и BC; они разные, потому что имеют противоположные направления.

Типичные ошибки

Иногда луч называют буквами в обратном порядке, потому что видят на рисунке те же две точки. Ошибка возникает из-за невнимания к начальной точке: в луче AB начало A, а в BA — B. Проверьте себя: найдите первую букву и убедитесь, что стрелка направлена от неё через вторую точку.

Некоторые считают, что у прямой есть край там, где заканчивается рисунок. Так происходит потому, что лист ограничен и линия действительно обрывается у его границы. Проверьте себя по стрелкам: у настоящей прямой они стоят с двух сторон и показывают продолжение за пределы листа.

Луч иногда изображают обычным отрезком без стрелки. Его путают с отрезком, поскольку обе фигуры имеют начальную точку на рисунке. Проверьте себя: у луча должна быть стрелка в направлении бесконечного продолжения, а второй конец не является конечной точкой.

Прямую и луч путают, когда не учитывают число направлений продолжения. У прямой нет начала, и она уходит в обе стороны, а у луча есть начало и только одно направление. Проверьте рисунок по двум признакам: наличие начальной точки и стрелок на концах.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое точка и отрезок, уметь определять принадлежность точки фигуре и обозначать геометрические объекты буквами. Эти навыки помогают читать запись AB и понимать положение точек на линии. Без них трудно отличить точку на луче от точки рядом с ним.

Прямые и лучи используются при изучении угла: два луча с общим началом образуют его стороны. Они нужны также на координатной прямой, при рассмотрении пересечений и при построениях линейкой. Понимание направления помогает правильно выполнять такие построения.

Что запомнить

• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Прямая задаётся двумя различными точками.
• В обозначении луча первая буква обозначает его начало.
• Стрелки на рисунке показывают неограниченное продолжение фигуры.
• Две противоположно направленные части одной прямой с общей начальной точкой образуют разные лучи.